Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
f(x) = { x + 1, -1 <= x < 0; 1 - x, 0 < x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a Série de Fourier de uma função definida por partes e, depois, desenhar o gráfico da função para a qual essa série converge em um intervalo de três períodos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função . Observando o enunciado:
A função está definida de a , o que sugere que o período é (porque de a são dois unidades). Portanto, temos:

Passo 3

A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Como , a fórmula fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , e .
  • O coeficiente é dado por:
  • Os coeficientes são:
  • E os coeficientes são:

Passo 5

Vamos calcular :
Calculando as integrais:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou observando a simetria da função. Após cálculos mais aprofundados (que requerem métodos de integração), podemos concluir que para todos os , devido à simetria da função.

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Novamente, resolvendo essas integrais por partes, obtemos:

Passo 8

Com todos os coeficientes calculados, nossa série de Fourier fica:

Passo 9

Agora, vamos esboçar o gráfico da função para a qual essa série converge em um intervalo de três períodos. Como a função original tem período , três períodos correspondem a de a .
O gráfico será uma função em forma de “manguito” ou “sawtooth”, repetindo os padrões de aumento e diminuição definidos na função original , estendidos por três períodos.

Resposta

A série de Fourier para a função dada é:

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