Resolva o problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis. Estamos lidando com uma equação diferencial parcial do tipo difusão com um termo constante.
Equação dada:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2 - 340
Condições iniciais e de fronteira:
Inicial:, para
Fronteiras:
, para
, para
Vamos precisar usar separação de variáveis e talvez considerar uma solução estacionária para lidar com o termo constante.
Passo 2
Primeiro, a gente busca uma solução estacionária 0 = d^2 usdx^2 - 340 , que não depende do tempo, ou seja, d^2 usdx^2 = 340 . Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, integramos essa equação duas vezes para encontrar dusdx = 340x + C1 .
Primeira integração:
us(x) = 380x^2 + C1 x + C2
Segunda integração:
Passo 4
Aplicamos as condições de fronteira para determinar as constantes us(0) = 0 = 380(0)^2 + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 0 e us(40) = 60 = 380(40)^2 + C1 cdot 40 .
Agora, vamos considerar a solução geral como a soma da solução estacionária e da solução transitória:
u(x, t) = us(x) + v(x, t)
Substituindo na equação original:
partial vpartial t = partial^2 vpartial x^2
Agora, temos uma equação de difusão homogênea para .
Passo 6
Aplicamos a separação de variáveis para X(x) dTdt = T(t) d^2Xdx^2 . Assumimos que 1T(t) dTdt = 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda .
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separa��ão.
Passo 7
Temos duas equações ordinárias:
cuja solução é
Resolvendo a segunda equação, a solução geral para depende dos valores de . Como temos condições de contorno específicas, vamos considerar soluções do tipo seno e cosseno.
Passo 8
Aplicando as condições de fronteira homogêneas para Xn(x) = sin(npi x40) :
lambdan = (npi40)^2
Isso implica que a solução para deve satisfazer essas condições. Portanto, assumimos:
e os valores próprios são:
Passo 9
Então, a solução para v(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t fica: