Resolva o problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis
(a)
l partial upartial t=partial^2 upartial x^2-340 u(x, 0)=20, 00 u(40, t)=60, t>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis. Estamos lidando com uma equação diferencial parcial do tipo difusão com um termo constante.
Equação dada:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2 - 340
Condições iniciais e de fronteira:
  • Inicial: , para
  • Fronteiras:
    • , para
    • , para
Vamos precisar usar separação de variáveis e talvez considerar uma solução estacionária para lidar com o termo constante.

Passo 2

Primeiro, a gente busca uma solução estacionária 0 = d^2 usdx^2 - 340 , que não depende do tempo, ou seja, d^2 usdx^2 = 340 . Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, integramos essa equação duas vezes para encontrar dusdx = 340x + C1 .
Primeira integração:
us(x) = 380x^2 + C1 x + C2
Segunda integração:

Passo 4

Aplicamos as condições de fronteira para determinar as constantes us(0) = 0 = 380(0)^2 + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 0 e us(40) = 60 = 380(40)^2 + C1 cdot 40 .
Para 60 = 380 cdot 1600 + 40 C1 60 = 60 + 40 C1 40 C1 = 0 Rightarrow C1 = 0 :
us(x) = 380x^2
Para :
Calculando:
Então, a solução estacionária é:

Passo 5

Agora, vamos considerar a solução geral como a soma da solução estacionária e da solução transitória:
u(x, t) = us(x) + v(x, t)
Substituindo na equação original:
partial vpartial t = partial^2 vpartial x^2
Agora, temos uma equação de difusão homogênea para .

Passo 6

Aplicamos a separação de variáveis para X(x) dTdt = T(t) d^2Xdx^2 . Assumimos que 1T(t) dTdt = 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda .
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separa��ão.

Passo 7

Temos duas equações ordinárias:
  1. cuja solução é
Resolvendo a segunda equação, a solução geral para depende dos valores de . Como temos condições de contorno específicas, vamos considerar soluções do tipo seno e cosseno.

Passo 8

Aplicando as condições de fronteira homogêneas para Xn(x) = sin(npi x40) :
  • lambdan = (npi40)^2
Isso implica que a solução para deve satisfazer essas condições. Portanto, assumimos:
e os valores próprios são:

Passo 9

Então, a solução para v(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t fica:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial u(x, 0) = us(x) + v(x, 0) = 20 . Sabemos que:
380x^2 + sumn=1^infty Bn sin(npi x40) = 20
Substituindo sumn=1^infty Bn sin(npi x40) = 20 - 380x^2 :
Então:

Passo 11

Para encontrar os coeficientes Bn = 240 integral0^40 (20 - 380x^2) sin(npi x40) dx , usamos a fórmula de Fourier para séries de senos:
Bn = 120 integral0^40 (20 - 380x^2) sin(npi x40) dx
Simplificando:

Passo 12

Após calcular os integrais, teremos os coeficientes u(x, t) = 380x^2 + sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t . A solução geral completa é então:

Resposta

A solução do problema é dada por:
u(x, t) = 380x^2 + sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t
onde os coeficientes Bn = 120 integral0^40 (20 - 380x^2) sin(npi x40) dx são calculados por:

Exercícios relacionados