O enunciado pede a expansão em série de Fourier de uma função periódica de período 2π, definida por
Depois vamos usar os valores da série nos pontos x=0 e x=π para obter as somas solicitadas (ζ(2) e a série alternada).
Passo 2
Vamos calcular o coeficiente a₀, que vale
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx
Quebrando em dois trechos:
integral-pi^0pi^2dx=pi^2cdotpi=pi^3,
integral0^pi(pi^2-x^2)dx=pi^2pi-pi^33=2pi^33
Somando dá integral-pi^pif=pi^3+2pi^3/3=5pi^3/3, então
a0=1picdot5pi^33=5pi^23,
e portanto o termo constante é a0/2=5pi^2/6.
Passo 3
O coeficiente an é
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx
A parte de -pi a 0 dá zero e sobra
an=-1piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Usando integração por partes duas vezes mostra-se que
integral0^pix^2cos(nx),dx=2pi(-1)^nn^2
Logo
an=-1picdot2pi(-1)^nn^2=-2(-1)^nn^2
Passo 4
Os coeficientes bn não serão necessários para avaliar nos pontos x=0 e x=π, pois sempre aparecem multiplicados por sin(nx) e aí somam zero nesses x. A série de Fourier fica então