Encontre a série de Fourier de f no intervalo dado.
pi^2, & -pi
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pi^26=1+12^2+13^2+14^2+ldots
e
pi^212=1-12^2+13^2-14^2+ldots

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de uma função periódica de período 2π, definida por
f(x)= pi^2, & -pi
Depois vamos usar os valores da série nos pontos x=0 e x=π para obter as somas solicitadas (ζ(2) e a série alternada).

Passo 2

Vamos calcular o coeficiente a₀, que vale
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx
Quebrando em dois trechos:
integral-pi^0pi^2dx=pi^2cdotpi=pi^3,
integral0^pi(pi^2-x^2)dx=pi^2pi-pi^33=2pi^33
Somando dá integral-pi^pif=pi^3+2pi^3/3=5pi^3/3, então
a0=1picdot5pi^33=5pi^23,
e portanto o termo constante é a0/2=5pi^2/6.

Passo 3

O coeficiente an é
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx
A parte de -pi a 0 dá zero e sobra
an=-1piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Usando integração por partes duas vezes mostra-se que
integral0^pix^2cos(nx),dx=2pi(-1)^nn^2
Logo
an=-1picdot2pi(-1)^nn^2=-2(-1)^nn^2

Passo 4

Os coeficientes bn não serão necessários para avaliar nos pontos x=0 e x=π, pois sempre aparecem multiplicados por sin(nx) e aí somam zero nesses x. A série de Fourier fica então
f(x)=5pi^26+sumn=1^inftyl(-2(-1)^nn^2r)cos(nx)+sumn=1^inftybnsin(nx)

Passo 5

Avaliação em x=0: como sin(n·0)=0 e cos(n·0)=1, a série dá
f(0)=5pi^26+sumn=1^inftyl(-2(-1)^nn^2r)
Mas f(0^-) = f(0^+) =pi^2, logo o valor da série é pi^2. Assim
pi^2=5pi^26-2sumn=1^infty(-1)^nn^2
Rearranjando,
2sumn=1^infty(-1)^nn^2=5pi^26-pi^2=pi^26,
e portanto
sumn=1^infty(-1)^nn^2=pi^212(-1)
isto é
sumn=1^infty(-1)^n-1n^2=pi^212

Passo 6

Avaliação em x=π: aqui sin(nπ)=0 e cos(nπ)=(-1)^n. O valor da série converge para a média (f(pi^-)+f(-pi^+))/2=(0+pi^2)/2=pi^2/2. Logo
pi^22=5pi^26+sumn=1^inftyl(-2(-1)^nn^2r)(-1)^n =5pi^26-2sumn=1^infty1n^2
Rearranjando,
2sumn=1^infty1n^2=5pi^26-pi^22=pi^23,
logo
sumn=1^infty1n^2=pi^26

Resposta

As igualdades ficam\n pi^26=1+12^2+13^2+cdots epi^212=1-12^2+13^2-cdots

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