Resolva a equação x^2 d^2 yd x^2-2 x d yd x-4 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2d^2ydx^2 - 2xdydx - 4y = 0
Este tipo de equação leva o nome de equação de Euler–Cauchy e a ideia é assumir uma solução do tipo potências de x.

Passo 2

Para equações de Euler–Cauchy a gente supõe uma solução da forma y = x^m. Então precisamos calcular as derivadas:
y = x^m,
dydx = m x^m-1,
d^2ydx^2 = m(m-1)x^m-2

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] - 2xl[m x^m-1r] - 4l[x^mr] = 0
Agora simplificamos cada termo:
m(m-1)x^m - 2m x^m - 4x^m = 0
Fatorando x^m (que não zera se xneq 0):
x^ml[m(m-1) - 2m - 4r] = 0
logo a parte entre colchetes é a equação característica.

Passo 4

A equação característica é
m(m-1) - 2m - 4 = 0
que se expande para
m^2 - m - 2m - 4 = 0
m^2 - 3m - 4 = 0
Resolvendo-a por Bhaskara:
m = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52
Portanto as raízes são m1 = 4 e m2 = -1.

Passo 5

Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1x^m1 + C2x^m2
ou seja

Passo 6

generalizou a forma

Passo 7

substituindo os valores de m1 e m2.

Resposta

y(x) = C1x^4 + C2x^-1

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