Encontre a série de Fourier de 0, & -pi / 2 no intervalo dado.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função por partes em (-tfracpi2,,tfracpi2), estendida com período T=pi. O conteúdo é Série de Fourier para função periódica de período pi, então vamos precisar usar as fórmulas dos coeficientes an e bn.

Passo 2

Para qualquer função de período T=pi escrevemos a série como
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(2n x)+bnsin(2n x)r)
e os coeficientes são dados por
an=2piintegral-pi/2^pi/2f(x)cos(2n x),dx,
bn=2piintegral-pi/2^pi/2f(x)sin(2n x),dx

Passo 3

Como f(x)=0 em (-tfracpi2,0), só precisamos integrar de 0 a pi/2. Primeiro o termo médio:
a0=2piintegral0^pi/2cos x,dx =2pi[sin x]0^pi/2 =2picdot1 =2pi

Passo 4

Agora calculamos an:
an=2piintegral0^pi/2cos xcos(2n x),dx
Usamos a identidade cos Acos B=tfrac12[cos(A+B)+cos(A-B)], obtendo
an=1piintegral0^pi/2[cos((2n+1)x)+cos((2n-1)x)],dx
Integramos:
integral0^pi/2cos(m x),dx=sin(mpi/2)m
e notamos sin((2n+1)pi/2)=(-1)^n e sin((2n-1)pi/2)=(-1)^n-1. Assim
an=1pil((-1)^n2n+1+(-1)^n-12n-1r) =2(-1)^n+1pi(4n^2-1)

Passo 5

Para bn usamos
bn=2piintegral0^pi/2cos xsin(2n x),dx =1piintegral0^pi/2[sin((2n+1)x)+sin((2n-1)x)],dx
Como
integral0^pi/2sin(m x),dx=1-cos(mpi/2)m
e cos((2npm1)pi/2)=0, vem
bn=1pil(12n+1+12n-1r) =4npi(4n^2-1)

Resposta

A série de Fourier de f(x) em (-tfracpi2,,tfracpi2) fica
f(x)=1pi+sumn=1^inftyl(2(-1)^n+1pi(4n^2-1)cos(2n x)+4npi(4n^2-1)sin(2n x)r)

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