Encontre a série de Fourier em -pi <=q x <=q pi para f(x)=|sin (x)|, uma função par (série cosseno)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier de $ f(x) = |\sin(x)| $ no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $. Como a função é par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $, vamos usar a série de Fourier em termos de cossenos. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para funções pares, a série de Fourier é composta apenas de termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para uma função par $ f(x) $ no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $ é:
f(x)
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante, e os $ a_n $ são os coeficientes que multiplicam os cossenos.

Passo 3

Vamos calcular o termo $ a_0 $. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Como $ f(x) = |\sin(x)| $ é uma função par, podemos simplificar a integral:
a0
E como $ \sin(x) $ é não negativa no intervalo $ [0, \pi] $, temos:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral0^pi sin(x) , dx = [-cos(x)]0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2
Portanto:
a0 = 2pi times 2 = 4pi

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 1 $. A fórmula é:
an
Novamente, como $ \sin(x) $ é não negativa em $ [0, \pi] $, podemos simplificar:
n >= 1

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica:
sin(x) cos(nx) = 12 [sin((n+1)x) + sin((n-1)x)]
Substituindo na integral:
an = 2pi times 12 integral0^pi [sin((n+1)x) + sin((n-1)x)] , dx = 1pi ( integral0^pi sin((n+1)x) , dx + integral0^pi sin((n-1)x) , dx )

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais. Sabemos que:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Então:
integral0^pi sin((n pm 1)x) , dx = -1n pm 1 [cos((n pm 1)pi) - cos(0)] = -1n pm 1 [(-1)^n pm 1 - 1]

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para $ a_n $:
an
Simplificando:
an = 1pi ( -1n+1 [(-1)^n+1 - 1] - 1n-1 [(-1)^n-1 - 1] )

Passo 9

Após simplificar os termos, percebemos que apenas os coeficientes para valores ímpares de $ n $ são não nulos. Então, para $ n = 2k-1 $, onde $ k $ é um número inteiro positivo, os coeficientes ficam:
n
E para $ n $ par, $ a_n = 0 $.

Resposta

A série de Fourier de $ f(x) = |\sin(x)| $ no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $ é dada por:
f(x) = |sin(x)|
Ou, de forma mais simplificada:
-pi <= x <= pi

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