Encontre a série de Fourier em
para
, uma função par (série cosseno)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier de $ f(x) = |\sin(x)| $ no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $. Como a função é par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $, vamos usar a série de Fourier em termos de cossenos. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para funções pares, a série de Fourier é composta apenas de termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para uma função par $ f(x) $ no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $ é:
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante, e os $ a_n $ são os coeficientes que multiplicam os cossenos.
Passo 3
Vamos calcular o termo $ a_0 $. A fórmula para $ a_0 $ é:
Como $ f(x) = |\sin(x)| $ é uma função par, podemos simplificar a integral:
E como $ \sin(x) $ é não negativa no intervalo $ [0, \pi] $, temos:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 1 $. A fórmula é:
Novamente, como $ \sin(x) $ é não negativa em $ [0, \pi] $, podemos simplificar:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas integrais. Sabemos que:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para $ a_n $:
Simplificando:
Passo 9
Após simplificar os termos, percebemos que apenas os coeficientes para valores ímpares de $ n $ são não nulos. Então, para $ n = 2k-1 $, onde $ k $ é um número inteiro positivo, os coeficientes ficam:
E para $ n $ par, $ a_n = 0 $.
Resposta
A série de Fourier de $ f(x) = |\sin(x)| $ no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $ é dada por:
Ou, de forma mais simplificada: