Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
f(x)=e^-1 / x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a concavidade da função $ f(x) = e^{-1/x} $ e encontrar os pontos de inflexão, se tiver. Concavidade está relacionada com a segunda derivada da função, e pontos de inflexão são onde essa concavidade muda. Então, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de $ f(x) $ e analisar os sinais da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $. A função é $ f(x) = e^{-1/x} $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. Lembre-se que a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $.
Então, seja $ u = -1/x $. A derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2} $. Portanto, a primeira derivada é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos ajudará a determinar a concavidade. Precisamos derivar $ f’(x) = e^{-1/x} \cdot \frac{1}{x^2} $. Usamos a regra do produto aqui, que diz que $ (uv)’ = u’v + uv’ $.
Primeiro, derivamos $ u = e^{-1/x} $: já sabemos que $ u’ = e^{-1/x} \cdot \frac{1}{x^2} $ (que é justamente $ f’(x) $).
Depois, derivamos $ v = \frac{1}{x^2} $: a derivada é $ v’ = -\frac{2}{x^3} $.
Aplicando a regra do produto:
f''(x)
Simplificando:
f'(x) = e^-1/x cdot 1x^2
(uv)' = u'v + uv'

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para entender a concavidade.
A expressão $ e^{-1/x} $ é sempre positiva, pois a exponencial de qualquer número real é positiva. Então, o sinal de $ f’’(x) $ dependerá de $ \frac{1}{x^4} - \frac{2}{x^3} $.
Vamos simplificar essa parte:
e^-1/x
Agora, analisamos o sinal de $ 1 - 2x $:
  • Se $ 1 - 2x > 0 $ então $ x < \frac{1}{2} $
  • Se $ 1 - 2x < 0 $ então $ x > \frac{1}{2} $
Como o denominador $ x^4 $ é sempre positivo (exceto em $ x = 0 $, que não está no domínio da função), o sinal de $ f’’(x) $ será o mesmo de $ 1 - 2x $.

Passo 5

Com base nisso, podemos concluir:
  • Para $ x < \frac{1}{2} $: $ 1 - 2x > 0 $ então $ f’’(x) > 0 $ → função é côncava para cima.
  • Para $ x > \frac{1}{2} $: $ 1 - 2x < 0 $ então $ f’’(x) < 0 $ → função é côncava para baixo.
No ponto $ x = \frac{1}{2} $, a segunda derivada muda de sinal, indicando um possível ponto de inflexão.

Resposta

A função $ f(x) = e^{-1/x} $ é côncava para cima quando $ x < \frac{1}{2} $ e côncava para baixo quando $ x > \frac{1}{2} $. Há um ponto de inflexão em $ x = \frac{1}{2} $.

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