Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a)
.
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
A questão pede para determinar as séries de Fourier periódicas de cinco funções distintas no intervalo fundamental, usando fórmulas gerais de coeficientes.
Passo 2
Para qualquer função periódica de período 2L (ou 2 no caso em © e 4 em (e)), lembramos as fórmulas:
Se a função for par, só aparecem termos em
cos ; se for ímpar, só há
sin .
Passo 3
Para (a)
f(x)=-x em
[-L,L] com
f ímpar, temos
a0=an=0 e
$$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L(-x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)dx
=\frac{2(-1)^nL}{n\pi}.$$
Logo
Logo
$$f(x)=-x=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)
=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}{\infty}(-1)n\frac{1}{n},\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr).$$
Passo 4
Para (b)
f(x)=1 em
[-L,0) e 0 em
[0,L) . Calcula-se
Portanto
Passo 5
Para ©
f(x)=x+1 em
[-1,0] e
1-x em
[0,1] , período 2. Note que
f é par, logo só há cosenos. Calcula-se
$$a_0=1,\quad a_n=2\int_0^1(1-x)\cos(n\pi x)dx=\frac{2\bigl(1-(-1)n\bigr)}{n2\pi^2},\quad b_n=0.
$$
Então
Então
Passo 6
Para (d)
f(x)=x+L em
[-L,0] e
L em
[0,L] . Período 2L, sem simetria simples, usamos direto:
Logo
Passo 7
Para (e) período 4, em
[-2,2] :
f=0 em
[-2,-1] e
[1,2] , e
f(x)=x em
[-1,1] . Função ímpar, só há senos. Com cálculo direto:
os
an=0 e
a0=0 . Assim
Resposta
(a)
-x=2Lpisumn=1^infty(-1)^n1nsinl(npi xLr)
(b)
f(x)=12+sumn=1^inftyl((-1)^n+1npicosnpi xL-1-(-1)^nnpisinnpi xLr)
©
f(x)=12+sumn=1^infty2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2cos(npi x)
(d)
f(x)=3L4+sumn=1^inftyl(L(1-(-1)^n)n^2pi^2cosnpi xL+(-1)^n+1Lnpisinnpi xLr)
(e)
f(x)=sumn=1^infty4(-1)^n+1n^2pi^2sinnpi2,sinl(npi x2r)