Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a) f(x)=-x,-L <= x <= L, f(x+2 L)=f(x).
(b) f(x)=l1, se, -L <= x<0 0, se, 0 <= x
© f(x)=lx+1, se, -1 <= x <= 0 1-x, se, 0 <= x<1, f(x+2)=f(x)
(d) f(x)=lx+L, se ,-L <= x <= 0 L, se, 0 <= x <= L, f(x+2 L)=f(x)
(e) f(x)=l0, se, -2 <= x <=-1 x, se, -1 <= x <= 1 , f(x+4)=f(x) 0, se 1 <= x<2

Passo 1

A questão pede para determinar as séries de Fourier periódicas de cinco funções distintas no intervalo fundamental, usando fórmulas gerais de coeficientes.

Passo 2

Para qualquer função periódica de período 2L (ou 2 no caso em © e 4 em (e)), lembramos as fórmulas:
a0 = 1Lintegral-L^Lf(x),dx,
an = 1Lintegral-L^Lf(x)cosl(npi xLr),dx,
bn = 1Lintegral-L^Lf(x)sinl(npi xLr),dx
Se a função for par, só aparecem termos em cos; se for ímpar, só há sin.

Passo 3

Para (a) f(x)=-x em [-L,L] com f ímpar, temos a0=an=0 e
$$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L(-x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)dx
=\frac{2(-1)^nL}{n\pi}.$$
Logo
$$f(x)=-x=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)
=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}{\infty}(-1)n\frac{1}{n},\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr).$$

Passo 4

Para (b) f(x)=1 em [-L,0) e 0 em [0,L). Calcula-se
a0=1Lintegral-L^0 1,dx=1,
an=1Lintegral-L^0cosl(npi xLr)dx=(-1)^n+1npi,
bn=1Lintegral-L^0sinl(npi xLr)dx=-1-(-1)^nnpi
Portanto
f(x)=12+sumn=1^inftyl((-1)^n+1npicosnpi xL-1-(-1)^nnpisinnpi xLr)

Passo 5

Para © f(x)=x+1 em [-1,0] e 1-x em [0,1], período 2. Note que f é par, logo só há cosenos. Calcula-se
$$a_0=1,\quad a_n=2\int_0^1(1-x)\cos(n\pi x)dx=\frac{2\bigl(1-(-1)n\bigr)}{n2\pi^2},\quad b_n=0.
$$
Então
a0=1, an=2integral0^1(1-x)cos(npi x)dx=2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2, bn=0

Passo 6

Para (d) f(x)=x+L em [-L,0] e L em [0,L]. Período 2L, sem simetria simples, usamos direto:
a0=3L2,
an=1-(-1)^nn^2pi^2,L,
bn=(-1)^n+1Lnpi
Logo
f(x)=3L4+sumn=1^inftyl(Ll(1-(-1)^nr)n^2pi^2cosnpi xL+(-1)^n+1Lnpisinnpi xLr)

Passo 7

Para (e) período 4, em [-2,2]: f=0 em [-2,-1] e [1,2], e f(x)=x em [-1,1]. Função ímpar, só há senos. Com cálculo direto:
bn=22integral0^1xsinl(npi x2r)dx-22integral1^2 0=4(-1)^n+1n^2pi^2sinnpi2,
os an=0 e a0=0. Assim
f(x)=sumn=1^infty4(-1)^n+1n^2pi^2sinnpi2,sinl(npi x2r)

Resposta

(a) -x=2Lpisumn=1^infty(-1)^n1nsinl(npi xLr)
(b) f(x)=12+sumn=1^inftyl((-1)^n+1npicosnpi xL-1-(-1)^nnpisinnpi xLr)
© f(x)=12+sumn=1^infty2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2cos(npi x)
(d) f(x)=3L4+sumn=1^inftyl(L(1-(-1)^n)n^2pi^2cosnpi xL+(-1)^n+1Lnpisinnpi xLr)
(e) f(x)=sumn=1^infty4(-1)^n+1n^2pi^2sinnpi2,sinl(npi x2r)

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