1. sumk=1^+infty(12^k-12^k+1)

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma da série sumk=1^+inftyl(tfrac12^k-tfrac12^k+1r). O conteúdo aqui é séries numéricas e, em especial, séries telescópicas; vamos usar soma parcial e limite para resolver.

Passo 2

Para aplicar a técnica telescópica, definimos a soma parcial até n como
Sn = sumk=1^nl(12^k-12^k+1r)

Passo 3

Agora, escrevendo os primeiros termos de Sn, temos:
Sn = l(tfrac12^1-tfrac12^2r) + l(tfrac12^2-tfrac12^3r) + cdots + l(tfrac12^n-tfrac12^n+1r) Repare que ocorre cancelamento em cadeia: o -1/2^2 do primeiro parcela cancela com o +1/2^2 do segundo, o -1/2^3 do segundo cancela com o +1/2^3 do terceiro, e assim por diante.

Passo 4

Depois de todos os cancelamentos, sobra apenas:
Sn = 12^1 - 12^n+1 = 12 - 12^n+1
Para obter a soma infinita, fazemos ntoinfty:
limntoinftySn = 12 - 0 = 12

Resposta

12

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