1. sumk=1^+infty(-34)^k-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumk=1^+inftyl(-tfrac34r)^k-1. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos usar a fórmula da soma quando o módulo da razão for menor que 1.

Passo 2

Numa série geométrica infinita sumk=1^+inftya1,q^k-1, o primeiro termo é a1 e a razão é q. Aqui temos a1=l(-tfrac34r)^0=1 e q=-tfrac34. Como |q|=tfrac34<1, a série converge.

Passo 3

A fórmula da soma de uma série geométrica convergente é
S=a11-q

Passo 4

Substituindo a1=1 e q=-tfrac34 temos
S=11-l(-tfrac34r)=11+tfrac34

Passo 5

Para simplificar, note que 1+tfrac34=tfrac74, então
S=1tfrac74=47

Resposta

47

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