Resolva os seguintes PVIs. Verifique se a solução é única, se for única determine o intervalo onde acontece a unicidade. Justifique cada cálculo.
Passo 1
Estamos resolvendo uma EDO de primeira ordem com condição inicial
. O conteúdo principal aqui é transformar a equação em uma forma separável por meio de uma substituição adequada e depois aplicar o Teorema de existência e unicidade para descobrir o intervalo em que a solução é única.
Passo 2
Começamos isolando
. A EDO dada é
Reescrevendo, temos
Passo 3
Para simplificar, usamos a substituição
Então
e
Passo 4
Substituindo tudo na EDO:
Expandindo e cancelando termos iguais de ambos os lados, sobra
ou seja
Passo 5
Agora separamos variáveis:
Integramos dos dois lados:
Passo 6
Aplicando a condição inicial
dá
. Então
Logo a relação implícita é
Passo 7
Voltando a
, lembre que
. A solução fica implícita:
o que equivale a
Passo 8
Para verificar unicidade, escrevemos a EDO na forma
com
No ponto inicial
e num entorno onde
, o denominador
nunca zera e tanto
quanto
são contínuos. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, há uma única solução que passa por
e ela é única em qualquer intervalo contido em
.
Resposta
A solução está dada implicitamente por
e ela é única para
, ou seja, no intervalo de unicidade
.