Resolva os seguintes PVIs. Verifique se a solução é única, se for única determine o intervalo onde acontece a unicidade. Justifique cada cálculo.
c (x+raizx y) d yd x+x-y=x^-1 / 2 y^3 / 2 y(1)=1

Passo 1

Estamos resolvendo uma EDO de primeira ordem com condição inicial y(1)=1. O conteúdo principal aqui é transformar a equação em uma forma separável por meio de uma substituição adequada e depois aplicar o Teorema de existência e unicidade para descobrir o intervalo em que a solução é única.

Passo 2

Começamos isolando tfracdydx. A EDO dada é
(x+raizx y)dydx+x-y=x^-1/2y^3/2
Reescrevendo, temos
(x+raizx y)dydx=x^-1/2y^3/2-x+y

Passo 3

Para simplificar, usamos a substituição
v=raizyx, y=xv^2
Então
dydx=v^2+2xvdvdx,
e
raizx y=xv

Passo 4

Substituindo tudo na EDO:
x(1+v)l(v^2+2xvtfracdvdxr)+x-xv^2=xv^3
Expandindo e cancelando termos iguais de ambos os lados, sobra
2x^2v(1+v)dvdx+x=0
ou seja
2xv(1+v)dvdx=-1

Passo 5

Agora separamos variáveis:
2v(1+v),dv=-dxx
Integramos dos dois lados:
integral2(v+v^2),dv=integral-dxx
v^2+tfrac23v^3=-ln|x|+C

Passo 6

Aplicando a condição inicial x=1, y=1 v(1)=1. Então
1^2+tfrac23cdot1^3=-ln1+Cimplies1+tfrac23=Cimplies C=tfrac53
Logo a relação implícita é
v^2+tfrac23v^3+ln|x|=tfrac53

Passo 7

Voltando a y, lembre que v=raizy/x. A solução fica implícita:
l(raiztfracyxr)^2+tfrac23l(raiztfracyxr)^3+ln|x|=tfrac53,
o que equivale a
yx+23y^3/2x^3/2+ln x=53

Passo 8

Para verificar unicidade, escrevemos a EDO na forma y'=f(x,y) com
f(x,y)=x^-1/2y^3/2-x+yx+raizx y
No ponto inicial (1,1) e num entorno onde x>0, y>0, o denominador x+raizxy nunca zera e tanto f quanto partial f/partial y são contínuos. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, há uma única solução que passa por (1,1) e ela é única em qualquer intervalo contido em (0,infty).

Resposta

A solução está dada implicitamente por
yx+23y^3/2x^3/2+ln x=53,
e ela é única para x>0, ou seja, no intervalo de unicidade (0,infty).

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