Calcule
para a seguinte função e contorno:
, ao longo do círculo unitário centrado na origem;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a integral de contorno
onde
ao redor do círculo unitário centrado na origem. Isso é parte do estudo de Análise Complexa, mais especificamente usando o Teorema de Cauchy e Séries de Laurent. Para resolver, vamos precisar entender como expandir essa função em uma série e identificar os termos importantes para a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
pode ser expandida em uma série de potências de
. A série de Taylor para
é
. Substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
pela série que obtivemos:
Isso é uma Série de Laurent, que nos ajuda a identificar os termos que contribuem para a integral.
Passo 4
Sabemos que, para uma integral de contorno ao redor de um círculo que envolve uma singularidade, apenas o coeficiente de
na série de Laurent contribui para a integral. Isso porque:
Então, precisamos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 5
Resolvendo
:
Então, o termo que tem
é aquele onde
.
Passo 6
Vamos substituir
na série:
Esse é o termo que vai contribuir para a integral.
Passo 7
Aplicando o resultado da integral: