Calcule oint f(z) d z para a seguinte função e contorno:
f(z)=z^2 exp (1z), ao longo do círculo unitário centrado na origem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a integral de contorno oint f(z) , dz onde f(z) = z^2 exp(1z) ao redor do círculo unitário centrado na origem. Isso é parte do estudo de Análise Complexa, mais especificamente usando o Teorema de Cauchy e Séries de Laurent. Para resolver, vamos precisar entender como expandir essa função em uma série e identificar os termos importantes para a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que exp(1z) pode ser expandida em uma série de potências de z^-1. A série de Taylor para exp(w) é sumn=0^infty w^nn!. Substituindo w = 1z, temos:
exp(1z) = sumn=0^infty 1n! (1z)^n = sumn=0^infty 1n! z^-n

Passo 3

Agora, vamos multiplicar z^2 pela série que obtivemos:
f(z) = z^2 exp(1z) = z^2 sumn=0^infty 1n! z^-n = sumn=0^infty 1n! z^2 - n
Isso é uma Série de Laurent, que nos ajuda a identificar os termos que contribuem para a integral.

Passo 4

Sabemos que, para uma integral de contorno ao redor de um círculo que envolve uma singularidade, apenas o coeficiente de z^-1 na série de Laurent contribui para a integral. Isso porque:
oint z^k , dz = 2pi i & se k = -1, 0 & caso contrário á
Então, precisamos encontrar o valor de n que faz 2 - n = -1.

Passo 5

Resolvendo 2 - n = -1:
2 - n = -1 n = 3
Então, o termo que tem z^-1 é aquele onde n = 3.

Passo 6

Vamos substituir n = 3 na série:
13! z^2 - 3 = 16 z^-1
Esse é o termo que vai contribuir para a integral.

Passo 7

Aplicando o resultado da integral:
oint f(z) , dz = 16 oint z^-1 , dz = 16 cdot 2pi i = pi i3

Resposta

oint f(z) , dz = pi i3

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