Encontre a série de Maclaurin de f(x)=(1-x)^{k}, onde k é um número real qualquer.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=(1-x)^{k}, onde k é real arbitrário. O conteúdo é a expansão em série de potências (série de Taylor em torno de 0), também chamada de série binomial generalizada.

Passo 2

Para desenvolver (1 - x)^{k} em série de Maclaurin, lembramos a definição do coeficiente binomial generalizado:
\binom{k}{n} = \frac{k\,(k-1)\,(k-2)\,\cdots\,(k-n+1)}{n!},\quad n\ge1,
com \binom{k}{0}=1. Essa definição vale mesmo para k real.

Passo 3

Usando o teorema do binômio para expoente real, obtemos
(1 - x)^{k} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n}\,(-x)^{n}.
Como (-x)^{n}=(-1)^{n}x^{n}, podemos reescrever o termo geral da série como
\binom{k}{n}(-1)^{n}x^{n}
e, expandindo o binomial,
\binom{k}{n}(-1)^{n} = (-1)^{n}\,\frac{k\,(k-1)\,\cdots\,(k-n+1)}{n!}.

Passo 4

Portanto a série de Maclaurin de f(x)=(1-x)^{k} é
(1 - x)^{k} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{k\,(k-1)\,\cdots\,(k-n+1)}{n!}\,x^{n},
válida para \lvert x\rvert<1. O raio de convergência é 1, pois é a expansão binomial generalizada em torno de 0.

Resposta

(1 - x)^{k} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{k\,(k-1)\,\cdots\,(k-n+1)}{n!}\,x^{n} \quad(\lvert x\rvert<1).

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