Use séries para calcular o limite \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x-e^{x}}{1-\cos x}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1+x-e^{x}}{1-\cos x}
Usaremos séries de Taylor (Maclaurin) em torno de x=0 para aproximar o numerador e o denominador até a menor potência não-nula em x.

Passo 2

A série de Taylor de e^{x} em torno de 0 até a ordem x^{3} é
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + O\bigl(x^{4}\bigr).
Logo o numerador fica
1 + x - e^{x} = 1 + x - \Bigl(1 + x + \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{3}}{6} + O(x^{4})\Bigr) = -\,\frac{x^{2}}{2} \;-\;\frac{x^{3}}{6} + O\bigl(x^{4}\bigr).

Passo 3

A série de Taylor de \cos x em torno de 0 até a ordem x^{4} é
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O\bigl(x^{6}\bigr).
Portanto o denominador é
1 - \cos x = 1 - \Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{4}}{24} + O(x^{6})\Bigr) = \frac{x^{2}}{2} \;-\;\frac{x^{4}}{24} + O\bigl(x^{6}\bigr).

Passo 4

Agora escrevemos a razão usando as expansões:
\frac{1+x-e^{x}}{1-\cos x} = \frac{-\tfrac{x^{2}}{2}\bigl(1 + \tfrac{x}{3} + O(x^{2})\bigr)} {\tfrac{x^{2}}{2}\bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{12} + O(x^{4})\bigr)} = -\,\frac{x^{2}/2}{x^{2}/2}\;\frac{1 + O(x)}{1 + O(x^{2})} \longrightarrow -1 \quad\text{quando }x\to0.

Resposta

-1

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