Calcule as seguintes integrais:
(1 pt) integral 2 x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de $ 2x \cos(x) , dx $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula básica é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, $ u $ e $ dv $ são partes da função original que escolhemos para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa integral $ \int 2x \cos(x) , dx $. Precisamos escolher $ u $ e $ dv $:
integral 2x cos(x) , dx

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $:
du
v

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
integral 2x cos(x) , dx = 2x cdot sin(x) - integral sin(x) cdot 2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
2x sin(x) - 2 integral sin(x) , dx
= 2x sin(x) - 2(-cos(x)) + C
= 2x sin(x) + 2cos(x) + C

Resposta

Portanto, a integral de $ 2x \cos(x) , dx $ é:
2x cos(x) , dx

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