Estime o valor da integral integral duplaD e^sen x s e n y d A, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que estimar a integral dupla integral duplaD e^sin x sin y , dA, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especialmente mudando para coordenadas polares, já que estamos lidando com uma região circular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por:
dA = r , dr , dtheta
Então, nossa integral fica:
integral duplaD e^sin x sin y , dA = integral0^2pi integral0^2 e^sin(r cos theta) sin(r sin theta) , r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do expoente. Note que sin x sin y = sin(r cos theta) sin(r sin theta). Essa expressão pode ser complicada de integrar diretamente, então vamos utilizar uma aproximação.
Uma forma de simplificar é usar a série de Taylor para e^z, onde z = sin x sin y:
e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + dots
Vamos considerar os primeiros termos da série para estimar a integral:
e^sin x sin y approx 1 + sin x sin y
Então, nossa integral aproximada fica:
integral duplaD (1 + sin x sin y) , dA

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral duplaD 1 , dA + integral duplaD sin x sin y , dA
A primeira parte integral duplaD 1 , dA é simplesmente a área do disco D, que é:
Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi Á
A segunda parte integral duplaD sin x sin y , dA será zero. Isso porque, devido à simetria do disco e às funções ímpares sin x e sin y, as integrais se cancelam ao longo de todo o domínio.

Passo 5

Portanto, a estimativa da nossa integral fica:
integral duplaD e^sin x sin y , dA approx 4pi

Resposta

A estimativa do valor da integral é aproximadamente 4pi.

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