Estime o valor da integral
, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que estimar a integral dupla
, onde
é o disco de raio 2 centrado na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especialmente mudando para coordenadas polares, já que estamos lidando com uma região circular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do expoente. Note que
. Essa expressão pode ser complicada de integrar diretamente, então vamos utilizar uma aproximação.
Uma forma de simplificar é usar a série de Taylor para
, onde
:
Vamos considerar os primeiros termos da série para estimar a integral:
Então, nossa integral aproximada fica:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira parte
é simplesmente a área do disco
, que é:
A segunda parte
será zero. Isso porque, devido à simetria do disco e às funções ímpares
e
, as integrais se cancelam ao longo de todo o domínio.
Passo 5
Portanto, a estimativa da nossa integral fica:
Resposta
A estimativa do valor da integral é aproximadamente
.