Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função
usando a definição de série de Maclaurin. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e como expandir funções trigonométricas em séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função em torno de
. A fórmula geral para a série de Maclaurin de uma função
é:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de
avaliadas em
para construir a série.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Perceba que as derivadas começam a se repetir a cada 4 passos, com sinais alternando.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Vimos que apenas as derivadas de ordem ímpar são diferentes de zero.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a série de Maclaurin:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Podemos generalizar a série usando uma soma infinita. Observando o padrão dos sinais e dos expoentes, a série de Maclaurin para
fica:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e tem potências ímpares de
divididas pelo fatorial correspondente.
Passo 7
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para a função seno tem raio de convergência infinito, pois
é uma função inteira (analítica em todo o plano complexo). Como estamos apenas escalando a variável por 3, o raio de convergência permanece infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.