Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função usando a definição de série de Maclaurin. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e como expandir funções trigonométricas em séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função em torno de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n . A fórmula geral para a série de Maclaurin de uma função é:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de avaliadas em para construir a série.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Perceba que as derivadas começam a se repetir a cada 4 passos, com sinais alternando.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Vimos que apenas as derivadas de ordem ímpar são diferentes de zero.

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a série de Maclaurin:
sin(3x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = 0 + 31!x + 0 - 273!x^3 + 0 + 2435!x^5 - dots
Simplificando, obtemos:
sin(3x) = 3x - (3x)^33! + (3x)^55! - dots

Passo 6

Podemos generalizar a série usando uma soma infinita. Observando o padrão dos sinais e dos expoentes, a série de Maclaurin para sin(3x) = sumn=0^infty (-1)^n (3x)^2n+1(2n+1)! fica:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e tem potências ímpares de divididas pelo fatorial correspondente.

Passo 7

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para a função seno tem raio de convergência infinito, pois é uma função inteira (analítica em todo o plano complexo). Como estamos apenas escalando a variável por 3, o raio de convergência permanece infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de sin(3x) = sumn=0^infty (-1)^n (3x)^2n+1(2n+1)! = 3x - (3x)^33! + (3x)^55! - dots é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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