Encontre a série de Maclaurin de usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Nesse exercício vamos encontrar a série de Maclaurin de e o raio de convergência associado usando a definição de série de Maclaurin e produto de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de potências de , pois é o inverso de . Temos
Em seguida, suponha que a série de seja
Como , multiplicamos as duas séries e igualamos ao polinômio constante 1:
Passo 3
Igualando coeficientes de cada potência de a zero (exceto o termo constante), obtemos um sistema para :
Portanto, a série de Maclaurin de fica
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência, observamos que tem singularidades nos zeros de sech x=1/cosh x, que ocorrem em
cosh xA singularidade mais próxima de zero está em x = il(tfracpi2 + kpir), kinZ, logo o raio de convergência é x=pm ipi/2.