Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=cossech x

Passo 1

Nesse exercício vamos encontrar a série de Maclaurin de e o raio de convergência associado usando a definição de série de Maclaurin e produto de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de potências de cosh x, pois é o inverso de sech x. Temos
cosh x
Em seguida, suponha que a série de seja
Como , multiplicamos as duas séries e igualamos ao polinômio constante 1:
cosh x=sumn=0^inftyx^2n(2n)!=1+x^22!+x^44!+x^66!+cdots

Passo 3

Igualando coeficientes de cada potência de x a zero (exceto o termo constante), obtemos um sistema para a2n:
constante: a0=1, coef de x^2:;a0cdottfrac12 + a2=0;Rightarrow;a2=-tfrac12, coef de x^4:;a0cdottfrac124+a2cdottfrac12 + a4=0;Rightarrow;a4=tfrac524, coef de x^6:;a0cdottfrac1720+a2cdottfrac124+a4cdottfrac12+a6=0;Rightarrow;a6=-tfrac61720, e assim por diante
Portanto, a série de Maclaurin de fica

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, observamos que tem singularidades nos zeros de sech x=1/cosh x, que ocorrem em
cosh xA singularidade mais próxima de zero está em x = il(tfracpi2 + kpir), kinZ, logo o raio de convergência é x=pm ipi/2.

Resposta

A expansão de Maclaurin de é
e o raio de convergência é sech x.

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