Determine a curvatura k(t) em cada um dos casos
.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curvatura k(t) da curva r(t)=(t^2,,sin t - tcos t,,cos t + tsin t). O conteúdo é geometria de curvas em R^3 e vamos usar a fórmula k(t)=dfrac|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3. Precisamos, portanto, calcular as derivadas primeira e segunda de r(t), o produto vetorial e as normas correspondentes.

Passo 2

Primeiro derivamos componente a componente. Como x(t)=t^2, y(t)=sin t - tcos t e z(t)=cos t + tsin t, obtemos
r'(t)=(2t,;tsin t,;tcos t),
r''(t)=(2,;sin t + tcos t,;cos t - tsin t)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial r'(t)times r''(t). Usando o determinante de matriz 3×3, chegamos a
r'(t)times r''(t)=(-t^2,;2t^2sin t,;2t^2cos t)

Passo 4

Em seguida, achamos a norma desse vetor. Como
|r'(t)times r''(t)|=raiz(-t^2)^2+(2t^2sin t)^2+(2t^2cos t)^2 =raizt^4+4t^4(sin^2t+cos^2t)=t^2raiz5,

Passo 5

Também precisamos de |r'(t)|. Calculando,
|r'(t)|=raiz(2t)^2+(tsin t)^2+(tcos t)^2 =raiz4t^2+t^2=|t|raiz5
Substituindo na fórmula de curvatura,
k(t)=t^2raiz5(|t|raiz5)^3 =t^2raiz5|t|^3(raiz5)^3 =15|t|

Resposta

A curvatura é k(t)=dfrac15|t| (para tneq0).

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