Seja f(x)=x^2-a3 x^3-|x-a2|+|x-a4|+x|x-a1|. Calcule, caso existam, as derivadas
f^prime(a2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x{2}-a_{3}x{3}-|x-a_{2}|+|x-a_{4}|+x|x-a_{1}| no ponto x=a_{2}. O conteúdo envolve derivada de valor absoluto, que se trata estudando as derivadas laterais usando a função sinal (\sgn).

Passo 2

Para x<a_{2} temos |x-a_{2}|=a_{2}-x, então
f(x)=x^2-a3x^3-(a2-x)+|x-a4|+x|x-a1|=x^2-a3x^3+x-a2+|x-a4|+x|x-a1|
Derivando em x<a_{2}:
Logo

Passo 3

Para x>a_{2} temos |x-a_{2}|=x-a_{2}, então
f(x)=x^2-a3x^3-(x-a2)+|x-a4|+x|x-a1|=x^2-a3x^3-x+a2+|x-a4|+x|x-a1|
Derivando em x>a_{2}:
Logo

Passo 4

Comparando as derivadas laterais vemos que f’{-}(a{2})-f’{+}(a{2})=2\neq0, ou seja, as derivadas laterais não coincidem. Portanto f não é diferenciável em x=a_{2}.

Resposta

f’\bigl(a_{2}\bigr) não existe.

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