Seja
. Calcule, caso existam, as derivadas
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
f(x)=x{2}-a_{3}x{3}-|x-a_{2}|+|x-a_{4}|+x|x-a_{1}| no ponto x=a_{2}. O conteúdo envolve derivada de valor absoluto, que se trata estudando as derivadas laterais usando a função sinal (\sgn).
f(x)=x{2}-a_{3}x{3}-|x-a_{2}|+|x-a_{4}|+x|x-a_{1}| no ponto x=a_{2}. O conteúdo envolve derivada de valor absoluto, que se trata estudando as derivadas laterais usando a função sinal (\sgn).
Passo 2
Para x<a_{2} temos |x-a_{2}|=a_{2}-x, então
Derivando em x<a_{2}:
Logo
Passo 3
Para x>a_{2} temos |x-a_{2}|=x-a_{2}, então
Derivando em x>a_{2}:
Logo
Passo 4
Comparando as derivadas laterais vemos que f’{-}(a{2})-f’{+}(a{2})=2\neq0, ou seja, as derivadas laterais não coincidem. Portanto f não é diferenciável em x=a_{2}.
Resposta
f’\bigl(a_{2}\bigr) não existe.