Encontre a série de Maclaurin da função
e seu raio de convergência. (Utilize a desigualdade de Taylor para mostrar que o resto tende a zero)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = e^{x} $ e determinar o raio de convergência dessa série. Aqui, estamos lidando com séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, que é uma série de Taylor centrada em $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da série de Maclaurin e entender como calcular os coeficientes da série. Além disso, usaremos a desigualdade de Taylor para mostrar que o resto da série tende a zero, garantindo a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão em série de potências de uma função $ f(x) $ em torno de $ x = 0 $. A fórmula geral da série de Maclaurin é:
Aqui, $ f^{(n)}(0) $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ x = 0 $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $. A coisa legal do $ e^{x} $ é que todas as suas derivadas são iguais a ele mesmo:
Então, avaliando em $ x = 0 $:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Então, a série de Maclaurin de $ e^{x} $ é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o critério da razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de $ x $ a série converge.
Consideramos o limite:
onde $ a_{n} = \frac{x^{n}}{n!} $. Calculando:
Como $ L = 0 < 1 $, a série converge para todo $ x \in \mathbb{R} $. Isso significa que o raio de convergência $ R $ é infinito.
Passo 6
Por fim, vamos confirmar que o resto da série tende a zero usando a desigualdade de Taylor. A desigualdade de Taylor nos diz que o resto $ R_{n}(x) $ é limitado por:
onde $ M $ é um limite para $ |f^{(n+1)}©| $ em algum intervalo. Para $ f(x) = e^{x} $, sabemos que $ f^{(n+1)}© = e^{c} $, e como $ e^{c} $ é sempre positivo, podemos tomar $ M = e^{|x|} $.
Então:
À medida que $ n $ tende a infinito, $ \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} $ tende a zero mais rápido que $ e^{|x|} $ cresce, fazendo com que $ |R_{n}(x)| $ também tende a zero.
Resposta
A série de Maclaurin da função $ f(x) = e^{x} $ é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.