Encontre as raízes da equação indicial.
x^2 y^prime prime-(x-29) y=0, x0=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação indicial da EDO x^2y'' - (x - tfrac29)y = 0 em torno de x0=0. O conteúdo aqui é o método de Frobenius: vamos precisar reescrever a equação no formato padrão y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 e então calcular os coeficientes p0 e q0 para montar a equação indicial.

Passo 2

Dividindo a EDO por x^2 obtemos o formato padrão:
y'' - x - tfrac29x^2,y = 0,

Passo 3

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p(x)=0, q(x)=-x-tfrac29x^2=-1x+29x^-2

Passo 4

Calculamos então os coeficientes da equação indicial:
$$p_0=\lim_{x\to0}x,p(x)=0,\qquad q_0=\lim_{x\to0}x^2,q(x)=\frac{2}{9}.
$$

Passo 5

A equação indicial é
r(r-1)+p0,r+q0=0

Passo 6

Substituindo os valores:
r(r-1)+29=0Longrightarrow r^2-r+29=0

Passo 7

Resolvendo essa equação quadrática:
r=1pmraiz1-tfrac892=1pmtfrac132,

Passo 8

obtendo as raízes
r1=23, r2=13

Resposta

As raízes da equação indicial são r1=tfrac23 e r2=tfrac13.

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