Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é sucessivamente dado por:
(cc-2 & 1 -1 & -2)

Passo 1

Temos o sistema dotx = A x com
A = -2 & 1 -1 & -2
O conteúdo aqui é sistemas lineares de ODE e exponencial de matriz. Vamos precisar do polinômio característico de A e das propriedades de matrizes que satisfazem N^2=-I para usar a série de Taylor da exponencial.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)^2 - (1)(-1) = (lambda + 2)^2 + 1 = 0
Isso dá as raízes lambda = -2 pm i, indicando uma oscilação amortecida.

Passo 3

Observamos que podemos decompor A como
A = -2I + N,
onde
N = A + 2I = 0 & 1 -1 & 0
Verificamos que
N^2 = 0 & 1 -1 & 0^2 = -I

Passo 4

Para calcular e^At, usamos
e^At = e^-2t e^Nt
Como N^2 = -I, a série de Taylor de e^Nt converge para
e^Nt = I cos t + N sin t

Passo 5

Substituindo em e^At, obtemos
e^At = e^-2tl(I cos t + N sin tr) = e^-2t cos t & sin t -sin t & cos t

Passo 6

A solução geral do sistema é
x(t) = e^At x(0)
Se x(0) = C1C2, então
x(t) = e^-2t C1 cos t + C2 sin t -C1 sin t + C2 cos t

Resposta

e^At = e^-2t cos t & sin t -sin t & cos t
x(t) = e^-2t C1 cos t + C2 sin t -C1 sin t + C2 cos t

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