Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
f(x)=10^x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=10^x e seu raio de convergência. Vamos usar a propriedade de que 10^x = e^xln 10 e a série conhecida de e^u.

Passo 2

Reescrevemos a função em termos da exponencial neperiana:
10^x = e^x ln 10

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin de e^u é
e^u = sumn=0^infty u^nn!

Passo 4

Substituindo u = xln 10 na série de e^u, obtemos
10^x = e^xln 10 = sumn=0^infty (xln 10)^nn! = sumn=0^infty (ln 10)^nn!,x^n

Passo 5

Para o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão em an = (ln 10)^nn!:
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|ln 10|n+1 = 0
Como esse limite é 0<1, concluímos que R=infty.

Resposta

10^x = sumn=0^infty (ln 10)^nn!,x^n, R = infty

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