Encontre a solução geral de cada equação:

Passo 1

O enunciado dá a equação
(1+x^2),y' + 4x,y = 1(1+x^2)^2,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos colocá-la na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e em seguida encontrar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por (1+x^2), obtemos
y' + 4x1+x^2,y = 1(1+x^2)^3
Portanto
P(x) = 4x1+x^2, Q(x) = 1(1+x^2)^3

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 4x1+x^2,dxr) = expl(2ln(1+x^2)r) = (1+x^2)^2

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto:
ddxl((1+x^2)^2,yr) = (1+x^2)^2,1(1+x^2)^3 = 11+x^2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
(1+x^2)^2,y = integral 11+x^2,dx + C = arctan x + C
Isolando y, vem
y = arctan x + C(1+x^2)^2

Resposta

y = arctan x + C(1+x^2)^2

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