Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
an=e^1 / n

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = e^1/n
O conteúdo é limites e convergência de sequências. Para resolvê-la, vamos usar o fato de que limntoinfty1/n=0 e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que
limntoinfty1n=0,
pois à medida que n cresce sem limite, seu inverso tende a zero.

Passo 3

A função f(x)=e^x é contínua para todo xinR. Pela propriedade de continuidade, podemos passar o limite para dentro de f:
limntoinftye^1/n =e^limntoinfty1/n =e^0 =1

Passo 4

Logo, a sequência l(anr) converge, e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 1

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