Encontre a série de Maclaurin de \sin (x) até o termo de grau 5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a série de Maclaurin de \sin(x) até o termo de grau 5. Isso significa escrever \sin(x) como
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n
e manter todos os termos com potência de x até x^5. Vamos precisar dos valores das derivadas de \sin(x) avaliadas em x=0.

Passo 2

Calcular as derivadas de f(x)=\sin(x) em x=0:
\begin{aligned} f(x)&=\sin(x),&f(0)&=0,\\\ f'(x)&=\cos(x),&f'(0)&=1,\\\ f''(x)&=-\sin(x),&f''(0)&=0,\\\ f'''(x)&=-\cos(x),&f'''(0)&=-1,\\\ f^{(4)}(x)&=\sin(x),&f^{(4)}(0)&=0,\\\ f^{(5)}(x)&=\cos(x),&f^{(5)}(0)&=1. \end{aligned}

Passo 3

A fórmula da série de Maclaurin é
\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.
Mantendo só n\le5 e usando os valores acima, vemos que os únicos termos não nulos ocorrem em n=1,3,5.

Passo 4

Substituindo e simplificando:
\sin(x) =\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 =1\cdot\frac{x}{1!}+(-1)\cdot\frac{x^3}{3!}+1\cdot\frac{x^5}{5!} =x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.

Resposta

\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.

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