Exercício 1. Calcule o Jacobiano das transformações
x=u \cos \theta-v \operatorname{sen} \theta, y=u \operatorname{sen} \theta+v \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede o Jacobiano da transformação
x = u\cos\theta - v\operatorname{sen}\theta,\quad y = u\operatorname{sen}\theta + v\cos\theta.
Isso envolve cálculo de derivadas parciais e determinação de matrizes jacobianas, tema de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
\frac{\partial x}{\partial u} = \cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -\,\operatorname{sen}\theta,
\frac{\partial y}{\partial u} = \operatorname{sen}\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = \cos\theta.

Passo 3

Montamos a matriz jacobiana J cujos elementos são essas derivadas:
J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta \\[3pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.]

Passo 4

O Jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é o determinante de J:
\det(J) = \cos\theta\cdot\cos\theta \;-\;(-\operatorname{sen}\theta)\cdot\operatorname{sen}\theta = \cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1.

Resposta

O Jacobiano da transformação é 1.

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