Exercício 1. Calcule o Jacobiano das transformações
x=u v, y=u^{2}+v^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Jacobiano da transformação
x = u\,v, \quad y = u^{2} + v^{2}.
Aqui o conteúdo é derivadas parciais e determinante de matriz: o Jacobiano J(u,v) é dado por
J(u,v) = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Vamos, então, achar cada derivada parcial e montar esse determinante.]

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(u\,v) = v, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(u\,v) = u,
\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(u^{2}+v^{2}) = 2\,u, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(u^{2}+v^{2}) = 2\,v.

Passo 3

Substituir essas derivadas no determinante que define o Jacobiano:
J(u,v) = \det \begin{pmatrix} v & u \\[4pt] 2u & 2v \end{pmatrix} = v\cdot(2v) \;-\; u\cdot(2u) = 2\,v^{2} \;-\; 2\,u^{2} = 2\,(v^{2}-u^{2}).]

Resposta

O Jacobiano da transformação é
J(u,v)=2\,(v^{2}-u^{2}).

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