Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
  1. f(x)=1(1+x)^2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de f(x)=1(1+x)^2 e o raio de convergência associado. Vamos usar a definição
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
e calcular f^(n)(0) de forma geral.

Passo 2

Note que
f(x)=(1+x)^-2
Aplicando a regra do expoente repetidamente (ou por indução), obtemos
f^(n)(x)=(-2)(-3)cdots(-n-1),(1+x)^-2-n
Como são n fatores começando em -2, isso equivale a
f^(n)(x)=(-1)^n(n+1)!,(1+x)^-2-n

Passo 3

Avaliando em x=0 temos
f^(n)(0)=(-1)^n(n+1)!
O coeficiente de Maclaurin é
an=f^(n)(0)n!=(-1)^n(n+1)!n!=(-1)^n(n+1)

Passo 4

Substituindo na série, fica
1(1+x)^2 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),x^n

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão aos coeficientes an=(-1)^n(n+1):
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinftyn+2n+1=1
Logo a série converge para |x|<1, isto é, o raio de convergência é R=1.

Resposta

1(1+x)^2 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),x^n, R=1

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