Encontre a série de Maclaurin de usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de e o raio de convergência associado. Vamos usar a definição
e calcular de forma geral.
Passo 2
Note que
Aplicando a regra do expoente repetidamente (ou por indução), obtemos
Como são fatores começando em , isso equivale a
Passo 3
Avaliando em temos
O coeficiente de Maclaurin é
Passo 4
Substituindo na série, fica
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão aos coeficientes :
Logo a série converge para |x|<1, isto é, o raio de convergência é R=1.