Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.]
3. f(x)=1 / x, a=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=tfrac1x em torno de a=1.
O conteúdo principal aqui é a definição de série de Taylor em a:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(1)n!,(x-1)^n
Vamos usar isso e, para encontrar f^(n)(1), derivar f repetidamente até identificar um padrão.

Passo 2

Calculamos as primeiras derivadas e notamos o padrão:
f(x)=x^-1, f'(x)=-x^-2, f''(x)=2,x^-3, f^(3)(x)=-2cdot3,x^-4,;dots
Observando, para todo n>=0 vale por indução
f^(n)(x)=(-1)^n,n!;x^-,n-1

Passo 3

Avaliando em x=1 obtemos
f^(n)(1)=(-1)^n,n!,
Logo, no termo geral da série de Taylor:
f^(n)(1)n! = (-1)^n,n!n! = (-1)^n

Passo 4

Substituindo no somatório da definição, a série de Taylor fica
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n,(x-1)^n
Esta é de fato a expansão em série de potências de tfrac1x em torno de x=1.

Resposta

boxed 1x = sumn=0^infty(-1)^n,(x-1)^n, |x-1|<1

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