Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.]
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
.
O conteúdo principal aqui é a definição de série de Taylor em :
O conteúdo principal aqui é a definição de série de Taylor em
Vamos usar isso e, para encontrar
, derivar
repetidamente até identificar um padrão.
Passo 2
Calculamos as primeiras derivadas e notamos o padrão:
Observando, para todo
vale por indução
Passo 3
Avaliando em
obtemos
Logo, no termo geral da série de Taylor:
Passo 4
Substituindo no somatório da definição, a série de Taylor fica
Esta é de fato a expansão em série de potências de
em torno de
.