Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
ou seja, expressar
como
usando-se a definição de série de Maclaurin (série de potências centrada em zero). Também é preciso encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso vamos usar o fato conhecido da série geométrica.
Passo 2
Lembramos que, sempre que
,
Este é o caso típico de série geométrica, com raio de convergência
.
Passo 3
Multiplicando a expressão acima por
, obtemos
Logo, na forma de Maclaurin,
e
Passo 4
Como a série original de
converge para
e isso não muda ao multiplicar por
, o raio de convergência continua sendo
Resposta
com raio de convergência
.