Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
2. f(x)=x1-x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=x1-x
ou seja, expressar f(x) como
sumn=0^inftyanx^n
usando-se a definição de série de Maclaurin (série de potências centrada em zero). Também é preciso encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso vamos usar o fato conhecido da série geométrica.

Passo 2

Lembramos que, sempre que lvert xrvert<1,
11-x=sumn=0^inftyx^n
Este é o caso típico de série geométrica, com raio de convergência R=1.

Passo 3

Multiplicando a expressão acima por x, obtemos
f(x)=x1-x =,xsumn=0^inftyx^n =sumn=0^inftyx^n+1 =sumn=1^inftyx^n
Logo, na forma de Maclaurin,
a0=0, an=1(forall n>=1),
e
f(x)=sumn=1^inftyx^n

Passo 4

Como a série original de tfrac11-x converge para lvert xrvert<1 e isso não muda ao multiplicar por x, o raio de convergência continua sendo
R=1

Resposta

f(x)=x1-x=sumn=1^inftyx^n,
com raio de convergência R=1.

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