Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.]
4. f(x)=raizx, a=4

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=raizx centrada em a=4. Para isso, vamos usar o fato de que toda função que tem expansão em série de potências pode ser escrita como
f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(a)k!(x-a)^k
Em vez de calcular todas as derivadas f^(k)(4), vamos fazer uma mudança de variável que nos permite usar a expansão binomial generalizada.

Passo 2

Defina
h = x-4, u = h4 = x-44
Então
f(x)=raizx=raiz4+h=2,raiz1+u

Passo 3

A expansão binomial generalizada diz que, para qualquer alpha,
(1+u)^alpha =sumk=0^inftyalphachoose k,u^k, alphachoose k=alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1)k!
Aqui tomamos alpha=tfrac12.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso,
raiz1+u=(1+u)^1/2 =sumk=0^inftytfrac12choose k,u^k
Multiplicando por 2 e lembrando que u=(x-4)/4, obtemos
raizx =2sumk=0^inftytfrac12choose kl(x-44r)^k

Passo 5

Substituindo a fórmula de tfrac12choose k e deixando o termo geral explícito, a série de Taylor é
raizx =sumk=0^infty 2, tfrac12(tfrac12-1)cdots(tfrac12-k+1)k! ;(x-4)^k4^k

Resposta

boxed raizx =sumk=0^infty 2,tfrac12choose k,gl(x-44gr)^k
ou seja
raizx =2 - (x-4)4 -(x-4)^264 -(x-4)^3512 -cdots com termo >=ral acima

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