Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.]
4.
4.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
. Para isso, vamos usar o fato de que toda função que tem expansão em série de potências pode ser escrita como
Em vez de calcular todas as derivadas
, vamos fazer uma mudança de variável que nos permite usar a expansão binomial generalizada.
Passo 2
Defina
Então
Passo 3
A expansão binomial generalizada diz que, para qualquer
,
Aqui tomamos
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso,
Multiplicando por 2 e lembrando que
, obtemos
Passo 5
Substituindo a fórmula de
e deixando o termo geral explícito, a série de Taylor é
Resposta
ou seja