Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. (Suponha que f tenha expansão em uma série de potências.) Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=\frac{2+x}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
f(x)=\frac{2+x}{1-x}
ou seja, encontrar
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
usando a definição de série de potências. Também precisamos determinar o raio de convergencia dessa série.

Passo 2

Vamos decompor f(x) em duas frações que são mais fáceis de expandir como séries geométricas. Note que
\frac{2+x}{1-x} =\frac{2}{1-x}+\frac{x}{1-x}.

Passo 3

Lembramos que, para \lvert x\rvert<1, vale a série geométrica
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n.
Multiplicando por constantes ou por x obtemos
\frac{2}{1-x}=2\sum_{n=0}^{\infty}x^n,
\frac{x}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}x^n.

Passo 4

Somando as duas expansões, para \lvert x\rvert<1 temos
f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\sum_{n=1}^{\infty}x^n.
O termo de ordem zero n=0 vem só da primeira soma e vale 2. Para n\ge1, cada coeficiente é 2+1=3. Logo
f(x)=2+\sum_{n=1}^{\infty}3\,x^n.

Passo 5

Escrevendo explicitamente, a série de Maclaurin é
f(x)=2+3x+3x^2+3x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,
onde
a_0=2,\quad a_n=3\quad(\text{para }n\ge1).
Como usamos a série geométrica com raio de convergência 1, a expansão vale para \lvert x\rvert<1.

Resposta

A série de Maclaurin de \displaystyle\frac{2+x}{1-x} é
2+3x+3x^2+3x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\quad a_0=2,\;a_n=3\;(n\ge1),
com raio de convergência R=1.

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