Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. (Suponha que f tenha expansão em uma série de potências.) Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}, a=2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{3}}
centrada em a=2, e também o raio de convergência dessa série.
O que precisamos é reescrever f em potências de (x-2) e usar o Teorema do Binômio para expoentes negativos.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
t = x - 2,
de modo que x=2+t. Então
f(x) =\frac{1}{\bigl(1-(2+t)\bigr)^{3}} =\frac{1}{(-1 - t)^{3}} =-\,\frac{1}{(1+t)^{3}}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema do Binômio para expoente -3:
(1+t)^{-3} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-3}{n}t^{n},
onde
\binom{-3}{n} =\frac{(-3)(-4)\cdots(-3-n+1)}{n!} =(-1)^{n}\,\binom{n+2}{2}.
Logo
(1+t)^{-3} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{n+2}{2}\,t^{n}.
Multiplicando por -1, obtemos
f(x) =-\,(1+t)^{-3} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\binom{n+2}{2}\,t^{n}.

Passo 4

Voltando a t=x-2, a série de Taylor de f em torno de a=2 é
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\binom{n+2}{2}\,(x-2)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\,(x-2)^{n}.

Passo 5

O raio de convergência dessa série coincide com o intervalo de validade do binômio (1+t)^{-3}, que é |t|<1. Como t=x-2, o raio de convergência em torno de a=2 é
|x-2|<1.

Resposta

A série de Taylor de f(x)=1/(1-x)^{3} centrada em a=2 é
\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\,(x-2)^{n}},
e o raio de convergência é \boxed{1}.

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