Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. (Suponha que
tenha expansão em uma série de potências.) Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
centrada em
, e também o raio de convergência dessa série.
O que precisamos é reescrever em potências de
e usar o Teorema do Binômio para expoentes negativos.
O que precisamos é reescrever
Passo 2
Definimos a mudança de variável
de modo que
. Então
Passo 3
Aplicamos o Teorema do Binômio para expoente
:
onde
Logo
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Voltando a
, a série de Taylor de
em torno de
é
Passo 5
O raio de convergência dessa série coincide com o intervalo de validade do binômio
, que é
. Como
, o raio de convergência em torno de
é
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é
e o raio de convergência é
.