Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. (Suponha que
tenha expansão em uma série de potências.) Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
ou seja, encontrar
usando a definição de série de potências. Também precisamos determinar o raio de convergencia dessa série.
Passo 2
Vamos decompor
em duas frações que são mais fáceis de expandir como séries geométricas. Note que
Passo 3
Lembramos que, para
, vale a série geométrica
Multiplicando por constantes ou por
obtemos
Passo 4
Somando as duas expansões, para
temos
O termo de ordem zero
vem só da primeira soma e vale
. Para
, cada coeficiente é
. Logo
Passo 5
Escrevendo explicitamente, a série de Maclaurin é
onde
Como usamos a série geométrica com raio de convergência
, a expansão vale para
.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
com raio de convergência
.