Determine se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3 n-1}{2 n+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{3n-1}{2n+2}
converge ou diverge. Vamos usar o teste de divergência (termo geral deve tender a zero) que, se falhar, já garante divergência da série.

Passo 2

O termo geral da série é
u_n = (-1)^n \frac{3n-1}{2n+2}.
Para qualquer série infinita convergir, é necessário que
\lim_{n\to\infty} u_n = 0.
Calculando o limite do módulo do termo:
\lim_{n\to\infty} \frac{3n-1}{2n+2} = \frac{3}{2}.
Como o fator (-1)^n apenas alterna o sinal, segue que
\lim_{n\to\infty} u_n
não existe como zero (os termos oscilam entre \pm\tfrac32). Logo, a condição necessária de convergência falha.

Resposta

A série diverge pelo teste de divergência.

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