Encontre uma série de potências de z-1 que convirja para a função
f(z)=z(z-1)(z-3),
em 0<|z-1|<2.

Passo 1

A função é dada por f(z)=z(z-1)(z-3) e queremos sua expansão em potências de w=z-1 válida para 0<|w|<2. Vamos usar frações parciais e depois desenvolver uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais: buscamos A,B tais que
z(z-1)(z-3)=Az-1+Bz-3
Escrevendo z=A(z-3)+B(z-1)=(A+B)z-(3A+B) e igualando coeficientes, obtemos
A+B=1, -3A-B=0 Longrightarrow A=-tfrac12, B=tfrac32

Passo 3

Agora reescrevemos 1z-3 em função de w=z-1. Note que
z-3=(z-1)-2=w-2=-2l(1- w2r)
e portanto
1z-3=-12cdot11- w2
para |w|<2. Aplicando a série geométrica temos
11-tfrac w2=sumn=0^inftyl( w2r)^n
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1z-3=-12sumn=0^inftyl( w2r)^n=-sumn=0^inftyw^n2^n+1

Passo 4

Multiplicamos pelo coeficiente B=tfrac32 e somamos a parte A/(z-1)=-tfrac12cdot1w. Assim
f(z)=-121w+32l(-sumn=0^inftyw^n2^n+1r) =-12w-sumn=0^infty32^n+2,w^n

Passo 5

Essa série é um desenvolvimento em potências de w=z-1 que converge sempre que |w|<2, e como há o termo 1/w ela é válida no anel 0<|w|<2.

Resposta

f(z)=-12(z-1);- sumn=0^infty32^n+2,(z-1)^n, 0<|z-1|<2

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