Encontre uma série de potências de
que convirja para a função
em
.
Passo 1
A função é dada por
e queremos sua expansão em potências de
válida para
. Vamos usar frações parciais e depois desenvolver uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais: buscamos
tais que
Escrevendo
e igualando coeficientes, obtemos
Passo 3
Agora reescrevemos
em função de
. Note que
e portanto
para
. Aplicando a série geométrica temos
logo
Passo 4
Multiplicamos pelo coeficiente
e somamos a parte
. Assim
Passo 5
Essa série é um desenvolvimento em potências de
que converge sempre que
, e como há o termo
ela é válida no anel
.