Sabendo que
5 z-2z(z-1)=2z-3-3 z-3 z^2-3 z^3-3 z^4-cdotspara 0<|z|<1, e que
5 z-2z(z-1)=3z-1+2-2(z-1)+2(z-1)^2-2(z-1)^3+cdotspara 0<|z-1|<1, calcule
integral|z|<12 5 z-2z(z-1) d z

Passo 1

O exercício pede o cálculo da integral integral|z|. Esse é um caso de aplicação do teorema dos resíduos, pois a função f(z)=5z-2z(z-1) tem singularidades em z=0 e z=1, mas apenas z=0 está dentro do círculo |z| (já que |1|>tfrac12).

Passo 2

Para usar o teorema dos resíduos, precisamos do resíduo de f(z) em z=0. O enunciado fornece a expansão de Laurent válida para |z|<1:
5z-2z(z-1)=2z-3-3z-3z^2-3z^3-cdots

Passo 3

Na expansão de Laurent, o coeficiente de 1/z é o resíduo em z=0. Aqui ele é igual a 2.
Pelo teorema dos resíduos, a integral vale 2pi i vezes o resíduo em z=0. Portanto:
integral|z|

Resposta

4pi i

Exercícios relacionados