Sabendo que
para
, e que
para
, calcule
Passo 1
O exercício pede o cálculo da integral
. Esse é um caso de aplicação do teorema dos resíduos, pois a função
tem singularidades em
e
, mas apenas
está dentro do círculo
(já que
).
Passo 2
Para usar o teorema dos resíduos, precisamos do resíduo de
em
. O enunciado fornece a expansão de Laurent válida para
:
Passo 3
Na expansão de Laurent, o coeficiente de
é o resíduo em
. Aqui ele é igual a
.
Pelo teorema dos resíduos, a integral vale vezes o resíduo em
. Portanto:
Pelo teorema dos resíduos, a integral vale