Exercício 17 (ELJ 93)
Seja f:[0,2] ] 0, infty[ contínua tal que integral0^1 f d x=integral1^2 f d x=1. Para cada x in[0,1], considere g:[0,1] [0,2] definida implicitamente por integralx^g(x) f(t) d t=1. Prove que g está bem definida e é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:[0,2]to(0,infty) tal que
integral0^1f(t),dt=integral1^2f(t),dt=1
e define g(x) em [0,1] pela condição implícita
integralx^g(x)f(t),dt=1
O que precisamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência e unicidade de g(x) e, em seguida, o Teorema da Função Implícita para mostrar que g é de classe C^1.

Passo 2

Fixe xin[0,1] e defina a função
hx(u)=integralx^uf(t),dt,
para uin[x,2]. Como f(t)>0 para todo t, concluímos que hx é estritamente crescente e contínua. Note que
hx(x)=0,
e também
hx(2)=integralx^2f(t),dt =integralx^1f(t),dt+integral1^2f(t),dt =(1-!!integral0^xf)+1>1

Passo 3

Pela propriedade de valor intermediário de funções contínuas estritamente crescentes, existe um único g(x)in(x,2] tal que
hxl(g(x)r)=1,
ou seja,
integralx^g(x)f(t),dt=1
Isso mostra que g(x) está bem definida e única.

Passo 4

Defina
F(x,u)=integralx^uf(t),dt-1
Então a condição de definição é
Fl(x,g(x)r)=0

Passo 5

Calcule as derivadas parciais de F:
partial Fpartial u(x,u) =f(u)>0, partial Fpartial x(x,u) =-,f(x)
Como partial F/partial u é contínua e nunca se anula em [0,1]times[0,2], podemos aplicar o Teorema da Função Implícita.

Passo 6

Pelo Teorema da Função Implícita, existe uma única função g de classe C^1 em [0,1] tal que Fl(x,g(x)r)=0. Além disso, sua derivada é
g'(x) =- partial Fpartial x(x,g(x)) partial Fpartial u(x,g(x)) =--f(x)fl(g(x)r) =f(x)fl(g(x)r)

Resposta

A função g:[0,1]to[0,2] está bem definida, única e é de classe C^1. Sua derivada é
g'(x)=f(x)fl(g(x)r)

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