Exercício 17 (ELJ 93)
Seja
contínua tal que
. Para cada
, considere
definida implicitamente por
. Prove que
está bem definida e é de classe
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
tal que
e define
em
pela condição implícita
O que precisamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência e unicidade de
e, em seguida, o Teorema da Função Implícita para mostrar que
é de classe
.
Passo 2
Fixe
e defina a função
para
. Como
para todo
, concluímos que
é estritamente crescente e contínua. Note que
e também
Passo 3
Pela propriedade de valor intermediário de funções contínuas estritamente crescentes, existe um único
tal que
ou seja,
Isso mostra que
está bem definida e única.
Passo 4
Defina
Então a condição de definição é
Passo 5
Calcule as derivadas parciais de
:
Como
é contínua e nunca se anula em
, podemos aplicar o Teorema da Função Implícita.
Passo 6
Pelo Teorema da Função Implícita, existe uma única função
de classe
em
tal que
. Além disso, sua derivada é
Resposta
A função
está bem definida, única e é de classe
. Sua derivada é