Exercício 13 (ELJ 83)
Pode x y e^x z-z ln y=0 ser resolvida localmente no ponto (0,1,0) como z=z(x, y) ? E como x=x(y, z) ? E como y=y(x, z) ? Determine o plano tangente em ( 0,1,0 ).

Passo 1

O enunciado define a superfície implícita
F(x,y,z)=x,y,e^x z-zln y=0
no ponto (0,1,0). Vamos usar o Teorema da Função Implícita para verificar se podemos resolver localmente para z=z(x,y), para x=x(y,z) e para y=y(x,z). Depois, determinamos o plano tangente em (0,1,0).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F e avaliá-las em (0,1,0):
Fx=partialpartial xl(x,y,e^xzr)=y,e^xz(1+xz) Longrightarrow Fx(0,1,0)=1
Fy=partialpartial yl(x,y,e^xz-zln yr) =x,e^xz-zy Longrightarrow Fy(0,1,0)=0
Fz=partialpartial zl(x,y,e^xz-zln yr) =x^2,y,e^xz-ln y Longrightarrow Fz(0,1,0)=0

Passo 3

Para z=z(x,y) precisamos de Fz(0,1,0)neq0. Como Fz(0,1,0)=0, não é possível resolver para z.
Para x=x(y,z) precisamos de Fx(0,1,0)neq0. Como Fx(0,1,0)=1, é possível resolver localmente x em função de (y,z).
Para y=y(x,z) precisamos de Fy(0,1,0)neq0. Como Fy(0,1,0)=0, não é possível resolver para y.

Passo 4

O plano tangente à superfície F(x,y,z)=0 em (0,1,0) vem da linearização
Fx(0,1,0),(x-0)+Fy(0,1,0),(y-1)+Fz(0,1,0),(z-0)=0
isto é
1cdot x+0cdot(y-1)+0cdot z=0 Longrightarrow x=0

Resposta

Não se pode resolver para z=z(x,y).
Não se pode resolver para y=y(x,z).
Pode-se resolver para x=x(y,z).
O plano tangente em (0,1,0) é x=0.

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