Encontre a série que representa
e determine seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida como uma série de potências centrada em
. Queremos duas coisas:
- A série de potências que representa
obtida por diferenciação termo a termo. - O raio de convergência dessa série.
Para isso vamos usar o fato de que, se
então
e para o raio de convergência usamos o teste da raiz (ou razão).
Passo 2
Aqui temos
. Aplicando a fórmula da derivada termo a termo, para
:
Logo
Passo 3
Para escrever na forma usual
, fazemos
. Então
e
Passo 4
Para achar o raio de convergência
da série original usamos o teste da raiz:
Logo
Como a derivada termo a termo não altera o raio de convergência, a série de
também converge para
.
Resposta
com raio de convergência
.