Encontre a série que representa f^prime(x) e determine seu raio de convergência:
f(x)=sumn=0^infty(n+1)(x-1)^n cdot 5^n

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=sumn=0^infty(n+1),5^n,(x-1)^n
definida como uma série de potências centrada em x=1. Queremos duas coisas:
  1. A série de potências que representa f'(x) obtida por diferenciação termo a termo.
  2. O raio de convergência dessa série.
    Para isso vamos usar o fato de que, se
f(x)=sumn=0^inftyan(x-1)^n,
então
f'(x)=sumn=1^inftyn,an,(x-1)^n-1,
e para o raio de convergência usamos o teste da raiz (ou razão).

Passo 2

Aqui temos an=(n+1),5^n. Aplicando a fórmula da derivada termo a termo, para n>=1:
ddxl[an(x-1)^nr] = n,an,(x-1)^n-1 = n,(n+1),5^n,(x-1)^n-1
Logo
f'(x)=sumn=1^inftyn,(n+1),5^n,(x-1)^n-1

Passo 3

Para escrever na forma usual sumk=0^infty bk,(x-1)^k, fazemos k=n-1. Então n=k+1 e
f'(x) =sumk=0^infty(k+1),(k+2),5^,k+1,(x-1)^k =5sumk=0^infty(k+1),(k+2),5^k,(x-1)^k

Passo 4

Para achar o raio de convergência R da série original usamos o teste da raiz:
limntoinftyraiz[n]|an| =limntoinftyraiz[n](n+1),5^n =5cdotlimntoinfty(n+1)^1/n=5
Logo
R=15
Como a derivada termo a termo não altera o raio de convergência, a série de f'(x) também converge para |x-1|<1/5.

Resposta

f'(x)=sumn=1^inftyn,(n+1),5^n,(x-1)^n-1 Long<=ftrightarrow f'(x)=5sumk=0^infty(k+1)(k+2),5^k(x-1)^k,
com raio de convergência R=tfrac15.

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