Encontre as assíntotas horizontais das funções abaixo, caso existam.
j) f(x)=4 x+raizx^2+1raizx^2-4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas horizontais da função $ f(x) = \frac{4x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} $. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e como calcular limites quando $ x $ tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma assíntota horizontal é uma linha horizontal que a função se aproxima quando $ x $ tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para encontrar essas assíntotas, a gente calcula o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para $ +\infty $ e para $ -\infty $.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende para $ +\infty $:
f(x)
Para simplificar, vamos dividir todas as expressões dentro das raízes por $ x^{2} $:
x

Passo 4

Agora, fatoramos $ x $ nas expressões:
x
Como $ x $ vai para $ +\infty $, os termos $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^{2}} $ vão para zero:
limx to +infty x (4 + raiz1 + 1x^2)x raiz1 - 4x + 4x^2 = limx to +infty 4 + raiz1 + 1x^2raiz1 - 4x + 4x^2

Passo 5

Portanto, o limite quando $ x $ tende para $ +\infty $ é 5, ou seja, existe uma assíntota horizontal em $ y = 5 $.

Passo 6

Agora, vamos verificar o limite quando $ x $ tende para $ -\infty $:
x
Seguindo o mesmo processo de dividir por $ x^{2} $ e fatorar $ x $:
-infty
Novamente, os termos com $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^{2}} $ vão para zero:
limx to -infty 4x + raizx^2 + 1raizx^2 - 4x + 4

Resposta

A função $ f(x) $ possui uma assíntota horizontal em $ y = 5 $.

Exercícios relacionados