Encontre as assíntotas horizontais das funções abaixo, caso existam.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas horizontais da função $ f(x) = \frac{4x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} $. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e como calcular limites quando $ x $ tende ao infinito ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma assíntota horizontal é uma linha horizontal que a função se aproxima quando $ x $ tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para encontrar essas assíntotas, a gente calcula o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para $ +\infty $ e para $ -\infty $.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende para $ +\infty $:
Para simplificar, vamos dividir todas as expressões dentro das raízes por $ x^{2} $:
Passo 4
Agora, fatoramos $ x $ nas expressões:
Como $ x $ vai para $ +\infty $, os termos $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^{2}} $ vão para zero:
Passo 5
Portanto, o limite quando $ x $ tende para $ +\infty $ é 5, ou seja, existe uma assíntota horizontal em $ y = 5 $.
Passo 6
Agora, vamos verificar o limite quando $ x $ tende para $ -\infty $:
Seguindo o mesmo processo de dividir por $ x^{2} $ e fatorar $ x $:
Novamente, os termos com $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^{2}} $ vão para zero:
Resposta
A função $ f(x) $ possui uma assíntota horizontal em $ y = 5 $.