Encontre a série de Taylor centrada em
:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a série de Taylor de
centrada em
.
Informações dadas e convenções que vou usar: e o ponto central é
. Vou usar a mudança de variável
(ou seja,
), porque facilita a manipulação com a fórmula da tangente da soma de ângulos. Nada mais é pedido explicitamente.
Informações dadas e convenções que vou usar:
Passo 2
Usar a identidade da tangente para soma de ângulos. A fórmula é
Tomando
e
temos
, logo
Portanto, a série de Taylor de
centrada em
equivale a expandir
em potências de
, com
.
Passo 3
Precisamos da série de Maclaurin (centrada em
) de
. Vou obter os primeiros coeficientes de forma direta. Seja
onde só aparecem potências ímpares porque
é função ímpar. A derivada satisfaz a equação
Substitui-se a série no lado esquerdo e no direito e igualam-se coeficientes por potência de
.
Passo 4
Calcular os coeficientes até
.
Escrevendo
temos
e
A equação
dá, termo a termo:
- ordem
: . - ordem
: então . - ordem
: então . - ordem
: . Substituindo obtemos
logo
.
Portanto a série de
até
é
Passo 5
Agora usamos a relação encontrada no Passo 2:
Para manipular, escrevemos
válido quando
. Multiplicando as somas obtemos a forma simples
Assim basta expandir em potências de
os termos
e somar as contribuições.
Passo 6
Vamos expandir cada potência
até ordem
, usando
Calculemos termos necessários:
-
:
-
(multiplicando e guardando até , pois não dá até combinações mais altas):
-
(até ):
-
(até ):
-
(até ):
-
(o menor termo é ):
-
(o menor termo é ):
Agora montamos
e somamos coeficientes potência a potência até
.
Agrupando as contribuições obtém-se:
- termo
: → coeficiente . - termo
: → coeficiente . - termo
: de e de , total . - termo
: de temos e de temos ; total . - termo
: contribuições (de ), (de ) e (de ), total . - termo
: contribuições (de ), (de ) e (de ), total . - termo
: somando (de ), (de ), (de ) e (de ), total .
Detalhes das somas foram feitos alinhando os termos obtidos em cada
e somando coeficientes numéricos; se quiser eu mostro cada linha de soma explicitamente (mas já consolidei aqui).
Passo 7
Reescrevendo em função de
(lembre que
) obtemos a série de Taylor centrada em
. Incluindo o termo de ordem maior negligenciado:
Observação sobre convergência: a série converge até o polo mais próximo de
. As singularidades mais próximas de
são
e
; a menor distância é
, portanto o raio de convergência é
.