Encontre a série de Taylor centrada em \alpha :
f(x)=\tan x, a=\pi / 4

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\tan x centrada em \alpha=\pi/4.
Informações dadas e convenções que vou usar: f(x)=\tan x e o ponto central é a=\pi/4. Vou usar a mudança de variável h=x-\pi/4 (ou seja, x=\pi/4+h), porque facilita a manipulação com a fórmula da tangente da soma de ângulos. Nada mais é pedido explicitamente.

Passo 2

Usar a identidade da tangente para soma de ângulos. A fórmula é
\tan(u+v)=\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\,\tan v}.
Tomando u=\pi/4 e v=h temos \tan(\pi/4)=1, logo
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)=\frac{1+\tan h}{1-\tan h}.
Portanto, a série de Taylor de \tan x centrada em \pi/4 equivale a expandir \dfrac{1+\tan h}{1-\tan h} em potências de h, com h=x-\pi/4.

Passo 3

Precisamos da série de Maclaurin (centrada em 0) de \tan h. Vou obter os primeiros coeficientes de forma direta. Seja
\tan h = a_1 h + a_3 h^3 + a_5 h^5 + a_7 h^7 + \cdots,
onde só aparecem potências ímpares porque \tan é função ímpar. A derivada satisfaz a equação
\frac{d}{dh}\tan h = 1+\tan^2 h.
Substitui-se a série no lado esquerdo e no direito e igualam-se coeficientes por potência de h.

Passo 4

Calcular os coeficientes até h^7.
Escrevendo
y(h)=a_1 h + a_3 h^3 + a_5 h^5 + a_7 h^7 + \cdots,
temos
y'(h)=a_1 + 3a_3 h^2 + 5a_5 h^4 + 7a_7 h^6 + \cdots
e
y(h)^2 = a_1^2 h^2 + 2a_1 a_3 h^4 + (2a_1 a_5 + a_3^2)h^6 + \cdots.
A equação y'=1+y^2 dá, termo a termo:
  • ordem h^0: a_1 = 1.
  • ordem h^2: 3a_3 = a_1^2 então a_3 = \dfrac{1}{3}.
  • ordem h^4: 5a_5 = 2a_1 a_3 então a_5 = \dfrac{2}{15}.
  • ordem h^6: 7a_7 = 2a_1 a_5 + a_3^2. Substituindo a_1=1,a_3=1/3,a_5=2/15 obtemos
7a_7 = 2\cdot1\cdot\frac{2}{15} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{15} + \frac{1}{9} = \frac{12+5}{45}=\frac{17}{45},
logo a_7 = \dfrac{17}{315}.
Portanto a série de \tan h até h^7 é
\tan h = h + \frac{1}{3}h^3 + \frac{2}{15}h^5 + \frac{17}{315}h^7 + \mathcal{O}(h^9).

Passo 5

Agora usamos a relação encontrada no Passo 2:
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)=\frac{1+\tan h}{1-\tan h}.
Para manipular, escrevemos
\frac{1+\tan h}{1-\tan h}=(1+\tan h)\cdot\frac{1}{1-\tan h}=(1+\tan h)\sum_{k=0}^{\infty}(\tan h)^k,
válido quando |\tan h|<1. Multiplicando as somas obtemos a forma simples
\frac{1+\tan h}{1-\tan h}=1+2\sum_{k=1}^{\infty}(\tan h)^k = 1 + 2\tan h + 2\tan^2 h + 2\tan^3 h + \cdots.
Assim basta expandir em potências de h os termos \tan^k h e somar as contribuições.

Passo 6

Vamos expandir cada potência \tan^k h até ordem h^7, usando
T:=\tan h = h + \frac{1}{3}h^3 + \frac{2}{15}h^5 + \frac{17}{315}h^7 + \cdots.
Calculemos termos necessários:
  1. T:
T = h + \frac{1}{3}h^3 + \frac{2}{15}h^5 + \frac{17}{315}h^7 + \cdots.
  1. T^2 (multiplicando e guardando até h^6, pois T^2 não dá h^7 até combinações mais altas):
T^2 = h^2 + \frac{2}{3}h^4 + \frac{17}{45}h^6 + \cdots.
  1. T^3 = T^2\cdot T (até h^7):
T^3 = h^3 + 1\cdot h^5 + \frac{11}{15}h^7 + \cdots.
  1. T^4 (até h^6):
T^4 = h^4 + \frac{4}{3}h^6 + \cdots.
  1. T^5 = T^4\cdot T (até h^7):
T^5 = h^5 + \frac{5}{3}h^7 + \cdots.
  1. T^6 (o menor termo é h^6):
T^6 = h^6 + \cdots.
  1. T^7 (o menor termo é h^7):
T^7 = h^7 + \cdots.
Agora montamos
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)=1+2\bigl(T+T^2+T^3+T^4+T^5+T^6+T^7+\cdots\bigr)
e somamos coeficientes potência a potência até h^7.
Agrupando as contribuições obtém-se:
  • termo h^1: 2\cdot h → coeficiente 2.
  • termo h^2: 2\cdot h^2 → coeficiente 2.
  • termo h^3: 2\cdot\frac{1}{3}h^3 de 2T e 2\cdot h^3 de 2T^3, total \dfrac{8}{3}h^3.
  • termo h^4: de 2T^2 temos \tfrac{4}{3}h^4 e de 2T^4 temos 2h^4; total \dfrac{10}{3}h^4.
  • termo h^5: contribuições 2\cdot\frac{2}{15}h^5 (de 2T), 2\cdot h^5 (de 2T^3) e 2\cdot h^5 (de 2T^5), total \dfrac{64}{15}h^5.
  • termo h^6: contribuições 2\cdot\frac{17}{45}h^6 (de 2T^2), 2\cdot\frac{4}{3}h^6 (de 2T^4) e 2\cdot h^6 (de 2T^6), total \dfrac{244}{45}h^6.
  • termo h^7: somando 2\cdot\frac{17}{315}h^7 (de 2T), 2\cdot\frac{11}{15}h^7 (de 2T^3), 2\cdot\frac{5}{3}h^7 (de 2T^5) e 2\cdot h^7 (de 2T^7), total \dfrac{2176}{315}h^7.
Detalhes das somas foram feitos alinhando os termos obtidos em cada T^k e somando coeficientes numéricos; se quiser eu mostro cada linha de soma explicitamente (mas já consolidei aqui).

Passo 7

Reescrevendo em função de x (lembre que h=x-\tfrac{\pi}{4}) obtemos a série de Taylor centrada em a=\pi/4. Incluindo o termo de ordem maior negligenciado:
\tan x = 1 + 2(x-\tfrac{\pi}{4}) + 2(x-\tfrac{\pi}{4})^2 + \frac{8}{3}(x-\tfrac{\pi}{4})^3 + \frac{10}{3}(x-\tfrac{\pi}{4})^4 + \frac{64}{15}(x-\tfrac{\pi}{4})^5 + \frac{244}{45}(x-\tfrac{\pi}{4})^6 + \frac{2176}{315}(x-\tfrac{\pi}{4})^7 + \mathcal{O}\bigl((x-\tfrac{\pi}{4})^8\bigr).
Observação sobre convergência: a série converge até o polo mais próximo de \tan x. As singularidades mais próximas de x=\pi/4 são x=\pi/2 e x=0; a menor distância é \pi/4, portanto o raio de convergência é R=\pi/4.

Resposta

\tan x = 1 + 2\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr) + 2\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^2 + \frac{8}{3}\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^3 + \frac{10}{3}\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^4 + \frac{64}{15}\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^5 + \frac{244}{45}\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^6 + \frac{2176}{315}\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^7 + \mathcal{O}\bigl((x-\tfrac{\pi}{4})^8\bigr).

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