Encontre a série de Taylor centrada em \alpha :
f(x)=\cos x, a=\pi / 3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Taylor centrada em \alpha para a função f(x)=\cos x com a=\pi/3.
Informações dadas e objetivo explícito:
\text{Dado: } f(x)=\cos x,\qquad a=\frac{\pi}{3}.
Objetivo: escrever a expansão de Taylor de \cos x em torno de x=a, isto é obter os coeficientes f^{(n)}(a)/n! e a forma geral da série
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a fórmula de Taylor (aula rápida e tranquila): se f é infinitamente diferenciável em torno de a, sua série de Taylor centrada em a é
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
Aqui f^{(n)}(a) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=a, e n! é o fatorial de n (por exemplo 3!=6). Na prova, você usa essa fórmula calculando as derivadas no ponto a e dividindo por n!.

Passo 3

Calcular as derivadas de \cos x e observar o padrão (isso é super importante e sempre aparece em prova):
As derivadas sucessivas são cíclicas de período 4:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\\\ f'(x)&=-\sin x,\\\ f''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x, \end{aligned}
e então o padrão se repete. Ou seja, para todo n,
f^{(n+4)}(x)=f^{(n)}(x).
Isso facilita muito: basta saber os quatro primeiros tipos de derivada.

Passo 4

Avaliar essas derivadas em a=\pi/3. Vamos usar que, retirado da trigonometria básica,
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora as avaliações:
\begin{aligned} f^{(0)}(a)=\cos a&=\frac{1}{2},\\\ f^{(1)}(a)=-\sin a&=-\frac{\sqrt{3}}{2},\\\ f^{(2)}(a)=-\cos a&=-\frac{1}{2},\\\ f^{(3)}(a)=\sin a&=\frac{\sqrt{3}}{2}, \end{aligned}
e para n\ge4 os valores repetem conforme o ciclo de comprimento 4:
\begin{cases} f^{(4k)}(a)=\dfrac{1}{2},\\[6pt] f^{(4k+1)}(a)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] f^{(4k+2)}(a)=-\dfrac{1}{2},\\[6pt] f^{(4k+3)}(a)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \end{cases} \quad k=0,1,2,\dots]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Taylor substituindo f^{(n)}(a). Para ver o padrão e aprender a extrair termos na prova, escrevamos os primeiros termos (até a terceira ordem) explicitamente:
\begin{aligned} \cos x &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\\[4pt] &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,(x-a)-\frac{1}{2}\cdot\frac{(x-a)^2}{2!}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{(x-a)^3}{3!}+\cdots. \end{aligned}
Isso já mostra como ficam os coeficientes: sinais que alternam com o ciclo de derivadas e fatores 1/2 ou \sqrt{3}/2 conforme n\bmod 4. Na prova, para obter qualquer coeficiente basta identificar n\bmod 4 e usar a tabela do Passo 4 dividida por n!.]

Passo 6

Para escrever a forma geral (ideia prática para prova), agrupe os termos em blocos de quatro usando k tal que n=4k,4k+1,4k+2,4k+3. Assim, sem pular passos, os coeficientes gerais são os dados no Passo 4 divididos por (\text{fatorial}). A série resultante converge para todo x (lembre: \cos x é inteira — raio de convergência infinito), e é a expansão de Taylor pedida. Agora vou apresentar a resposta final na seção indicada.

Resposta

\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{\tfrac{1}{2}}{(4k)!}(x-\tfrac{\pi}{3})^{4k}-\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{(4k+1)!}(x-\tfrac{\pi}{3})^{4k+1}-\frac{\tfrac{1}{2}}{(4k+2)!}(x-\tfrac{\pi}{3})^{4k+2}+\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{(4k+3)!}(x-\tfrac{\pi}{3})^{4k+3}\right].

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