Vamos lembrar e entender a fórmula de Taylor (aula rápida e tranquila): se f é infinitamente diferenciável em torno de a, sua série de Taylor centrada em a é
Aqui f^{(n)}(a) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=a, e n! é o fatorial de n (por exemplo 3!=6). Na prova, você usa essa fórmula calculando as derivadas no ponto a e dividindo por n!.
Passo 3
Calcular as derivadas de \cos x e observar o padrão (isso é super importante e sempre aparece em prova):
As derivadas sucessivas são cíclicas de período 4:
Agora aplicamos a fórmula de Taylor substituindo f^{(n)}(a). Para ver o padrão e aprender a extrair termos na prova, escrevamos os primeiros termos (até a terceira ordem) explicitamente:
\begin{aligned} \cos x &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\\[4pt] &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,(x-a)-\frac{1}{2}\cdot\frac{(x-a)^2}{2!}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{(x-a)^3}{3!}+\cdots. \end{aligned}
Isso já mostra como ficam os coeficientes: sinais que alternam com o ciclo de derivadas e fatores 1/2 ou \sqrt{3}/2 conforme n\bmod 4. Na prova, para obter qualquer coeficiente basta identificar n\bmod 4 e usar a tabela do Passo 4 dividida por n!.]
Passo 6
Para escrever a forma geral (ideia prática para prova), agrupe os termos em blocos de quatro usando k tal que n=4k,4k+1,4k+2,4k+3. Assim, sem pular passos, os coeficientes gerais são os dados no Passo 4 divididos por (\text{fatorial}). A série resultante converge para todo x (lembre: \cos x é inteira — raio de convergência infinito), e é a expansão de Taylor pedida. Agora vou apresentar a resposta final na seção indicada.