Determine a área entre as curvas:
y=\cos (\pi x), y=4 x^{2}-1.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede a área da região entre elas:
y=\cos(\pi x),\qquad y=4x^{2}-1.
As perguntas implícitas são:
  1. Onde as curvas se intersectam (pontos de integração)?
  2. Qual curva fica acima da outra entre essas interseções?
  3. Calcular a área entre as curvas usando integração.
Informações relevantes dadas:
\cos(\pi x) é uma função contínua e limitada entre -1 e 1.
4x^{2}-1 é uma parábola simétrica (função par) que vale -1 em x=0 e cresce para +\infty quando |x| aumenta.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
\cos(\pi x)=4x^{2}-1.
Testando valores simples notamos que x=\pm\frac{1}{2} funcionam, porque
\cos\!\left(\pi\cdot\frac{1}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
e
4\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1=4\cdot\frac{1}{4}-1=1-1=0.
Logo x=\pm\frac{1}{2} são pontos de interseção.
Agora justificamos que não existem outras interseções. Definimos a função
g(x)=4x^{2}-1-\cos(\pi x).
Queremos mostrar que, para x\ge\frac{1}{2}, g é estritamente crescente, o que garante no máximo uma raiz em [\tfrac{1}{2},\infty). Derivando,
g'(x)=8x+\pi\sin(\pi x).
Para x\ge\frac{1}{2} temos 8x\ge 4 e \pi\sin(\pi x)\ge -\pi. Então
g'(x)\ge 4-\pi.
Como 4-\pi>0 (pois \pi\approx 3{,}14), concluímos g'(x)>0 em [\tfrac{1}{2},\infty). Assim há no máximo uma raiz nessa metade positiva; como já achamos x=\tfrac{1}{2}, essa é a única raiz positiva. Pela paridade das funções (ambas são pares), a única raiz negativa é x=-\tfrac{1}{2}. Portanto as interseções são exatamente em
x=-\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está por cima no intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]. Avaliando em x=0:
\cos(0)=1,\qquad 4\cdot 0^{2}-1=-1,
logo \cos(\pi x) é maior que 4x^{2}-1 em x=0. As duas funções se cruzam apenas nas extremidades \pm\tfrac{1}{2} e são contínuas, portanto em todo o intervalo \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) temos
\cos(\pi x)\ge 4x^{2}-1.
Então, para calcular a área entre as curvas usamos a fórmula padrão: área =\displaystyle\int_{a}^{b}(\text{função superior} - \text{função inferior})\,dxçãçã.

Passo 4

Montamos a integral da área entre as curvas no intervalo de interseção:
\text{Área}=\int_{-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}}\Big(\cos(\pi x)-(4x^{2}-1)\Big)\,dx.Á
Para simplificar cálculos podemos observar que o integrando é uma função par (pois ambas as funções dentro são pares), então
\text{Área}=2\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}\Big(\cos(\pi x)-(4x^{2}-1)\Big)\,dx,Á
mas também podemos integrar diretamente entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}. Vou calcular a primitiva para avaliarem-se os limites.

Passo 5

Calculemos primitivadas termo a termo.
  1. Para \cos(\pi x): uma primitiva é
\int \cos(\pi x)\,dx=\frac{1}{\pi}\sin(\pi x),
porque ao derivar \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) aparece \cos(\pi x) (regra da cadeia).
  1. Para 4x^{2}-1: uma primitiva é
\int(4x^{2}-1)\,dx=\frac{4}{3}x^{3}-x,
pois \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^{3}\right)=4x^{2} e \frac{d}{dx}(-x)=-1.
Assim uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)-\frac{4}{3}x^{3}+x.

Passo 6

Agora avaliamos F nos limites x=\tfrac{1}{2} e x=-\tfrac{1}{2}.
Para x=\tfrac{1}{2}:
\sin\!\left(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8}. Então
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{\pi}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8}+\frac{1}{2} =\frac{1}{\pi}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}.
Simplificando os termos racionais:
-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{-1+3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
portanto
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{3}.
Para x=-\tfrac{1}{2}:
\sin\!\left(\pi\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\right)=\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1,
e \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}=-\tfrac{1}{8}. Assim
F\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{\pi}\cdot(-1)-\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)-\frac{1}{2} =-\frac{1}{\pi}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}.
E
\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1-3}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3},
então
F\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{1}{\pi}-\frac{1}{3}.

Passo 7

A área é F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F\!\left(-\tfrac{1}{2}\right). Substituindo:
\text{Área}=\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{\pi}-\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{\pi}+\frac{1}{3}+\frac{1}{\pi}+\frac{1}{3} =\frac{2}{\pi}+\frac{2}{3}.Á
Podemos deixar a resposta nessa forma exata. Se quiser um valor aproximado, \frac{2}{\pi}\approx 0{,}6366 e \frac{2}{3}\approx 0{,}6667, somando dá aproximadamente 1{,}3033.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\pi}+\frac{2}{3}

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