Determine a área entre as curvas:
y=\cos (\pi x), y=4 x^{2}-1.
y=\cos (\pi x), y=4 x^{2}-1.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede a área da região entre elas:
As perguntas implícitas são:
- Onde as curvas se intersectam (pontos de integração)?
- Qual curva fica acima da outra entre essas interseções?
- Calcular a área entre as curvas usando integração.
Informações relevantes dadas:
é uma função contínua e limitada entre
e
.
é uma parábola simétrica (função par) que vale
em
e cresce para
quando
aumenta.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
Testando valores simples notamos que
funcionam, porque
e
Logo
são pontos de interseção.
Agora justificamos que não existem outras interseções. Definimos a função
Queremos mostrar que, para
,
é estritamente crescente, o que garante no máximo uma raiz em
. Derivando,
Para
temos
e
. Então
Como
(pois
), concluímos
em
. Assim há no máximo uma raiz nessa metade positiva; como já achamos
, essa é a única raiz positiva. Pela paridade das funções (ambas são pares), a única raiz negativa é
. Portanto as interseções são exatamente em
Passo 3
Precisamos saber qual curva está por cima no intervalo
. Avaliando em
:
logo
é maior que
em
. As duas funções se cruzam apenas nas extremidades
e são contínuas, portanto em todo o intervalo
temos
Então, para calcular a área entre as curvas usamos a fórmula padrão: área
.
Passo 4
Montamos a integral da área entre as curvas no intervalo de interseção:
Para simplificar cálculos podemos observar que o integrando é uma função par (pois ambas as funções dentro são pares), então
mas também podemos integrar diretamente entre
e
. Vou calcular a primitiva para avaliarem-se os limites.
Passo 5
Calculemos primitivadas termo a termo.
- Para
: uma primitiva é
porque ao derivar
aparece
(regra da cadeia).
- Para
: uma primitiva é
pois
e
.
Assim uma primitiva do integrando é
Passo 6
Agora avaliamos
nos limites
e
.
Para
:
e
. Então
Simplificando os termos racionais:
portanto
Para
:
e
. Assim
E
então
Passo 7
A área é
. Substituindo:
Podemos deixar a resposta nessa forma exata. Se quiser um valor aproximado,
e
, somando dá aproximadamente
.