Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_{n}(x) \rightarrow 0.]
f(x)=1 / x, \quad a=-3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac1x centrada em a=-3. Vamos usar a definição de série de potências em torno de a, escrevendo x = a + h com h = x+3, e expandir por meio de série geométrica.

Passo 2

Substituindo x = -3 + h em f, obtemos
f(x)=\frac1x = \frac1{h-3}.
Reescrevendo \frac1{h-3} em forma de 1/(1 - (\cdot)), temos
\frac1{h-3} = -\frac1{3}\,\frac1{1 - \frac{h}{3}}.

Passo 3

Como \frac1{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty}u^n para |u|<1, aqui u=\frac{h}{3}=\frac{x+3}{3}. Logo,
\frac1{1-\frac{h}{3}} = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{h}{3}\Bigr)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+3)^n}{3^n},
válido para \bigl|\frac{x+3}{3}\bigr|<1, ou seja |x+3|<3.

Passo 4

Multiplicando por -\tfrac13, concluímos
f(x)=\frac1x = -\frac13\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+3)^n}{3^n} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+3)^n}{3^{\,n+1}}.

Resposta

\frac1x = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+3)^n}{3^{\,n+1}}, \qquad |x+3|<3.

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