Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=4 x^{2}-y^{3}+3 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função \r
f(x,y)=4x^{2}-y^{3}+3y. \r
O que precisamos é (i) calcular o gradiente \nabla f e achar onde ele se anula, e (ii) usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: \r
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=8x e \r
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-3y^{2}+3. \r
Para ter ponto crítico, impomos \r
8x = 0, \quad -3y^{2}+3 = 0.\r
Da primeira vem x=0. Da segunda, -3y^{2}+3=0 y^{2}=1, ou seja, y=\pm1. \r
Logo os pontos críticos são \r
(0,1) \quad\text{e}\quad (0,-1).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana de f:
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\\\ 0 & -6y \end{pmatrix}.
O determinante é
D = \det(H) = 8 \cdot (-6y) - 0 = -48y.
Pelo teste da segunda derivada em duas variáveis:
  • Se D > 0 e f_{xx} > 0, temos mínimo local.
  • Se D > 0 e f_{xx} < 0, temos máximo local.
  • Se D < 0, temos ponto de sela.

Passo 4

Analisando em cada ponto:\r
  • Em (0,1):
    D = -48\cdot1 = -48 < 0.
    Logo é ponto de sela.\r
  • Em (0,-1):
    D = -48\cdot(-1) = 48 > 0 e f_{xx}=8>0.
    Logo é mínimo local.

Resposta

(0,1) ponto de sela. \r
(0,-1) mínimo local.

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