Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função \r
. \r
O que precisamos é (i) calcular o gradiente e achar onde ele se anula, e (ii) usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
O que precisamos é (i) calcular o gradiente
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais: \r
e \r
. \r
Para ter ponto crítico, impomos \r
Para ter ponto crítico, impomos \r
Da primeira vem
. Da segunda,
dá
, ou seja,
. \r
Logo os pontos críticos são \r
Logo os pontos críticos são \r
Passo 3
Formamos a matriz Hessiana de
:
O determinante é
Pelo teste da segunda derivada em duas variáveis:
- Se
e , temos mínimo local. - Se
e , temos máximo local. - Se
, temos ponto de sela.
Passo 4
Analisando em cada ponto:\r
- Em
:
.
Logo é ponto de sela.\r - Em
:
e .
Logo é mínimo local.