(valor: 2,0 ) Considere
(a) Esboce o sólido de integraçāo.
(b) Aplique a mudança de variável para coordenadas esféricas e formule a integral sem resolvè-la.
(a) Esboce o sólido de integraçāo.
(b) Aplique a mudança de variável para coordenadas esféricas e formule a integral sem resolvè-la.
Passo 1
O enunciado pede (a) um esboço do sólido
e (b) reformular essa integral em coordenadas esféricas, sem calcular o valor final. Vamos usar a relação entre as superfícies
(cone) e
(esfera de raio 1).
Passo 2
O domínio de integração em
é o disco
. Para cada
nesse disco,
varia de
Geometricamente, é a região interna à esfera de raio 1 e acima do cone reto de abertura
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
e
.
A esfera vira
.
O cone corresponde a
A esfera
O cone
Como queremos a parte acima do cone, temos
. Portanto o sólido é descrito por
Passo 4
O elemento de volume em esféricas é
.
O integrando torna-se
O integrando
Logo o integrando completo é
Passo 5
Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, sem resolver, temos