(valor: 2,0 ) Considere I=\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} x y d z d y d x
(a) Esboce o sólido de integraçāo.
(b) Aplique a mudança de variável para coordenadas esféricas e formule a integral sem resolvè-la.

Passo 1

O enunciado pede (a) um esboço do sólido
I = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} x\,y \,dz\,dy\,dx
e (b) reformular essa integral em coordenadas esféricas, sem calcular o valor final. Vamos usar a relação entre as superfícies z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone) e x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 (esfera de raio 1).

Passo 2

O domínio de integração em xy é o disco x^{2}+y^{2}\le1. Para cada (x,y) nesse disco, z varia de
z_{\text{inferior}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\text{até}\quad z_{\text{superior}} = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}.é
Geometricamente, é a região interna à esfera de raio 1 e acima do cone reto de abertura 45^\circ.

Passo 3

Em coordenadas esféricas definimos
x = \rho \sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho \sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho \cos\varphi,
com \rho\ge0, 0\le\varphi\le\pi e 0\le\theta<2\pi.
A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 vira \rho=1.
O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} corresponde a
\rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \;\implies\; \tan\varphi = 1 \;\implies\; \varphi = \frac{\pi}{4}.
Como queremos a parte acima do cone, temos 0\le\varphi\le\pi/4. Portanto o sólido é descrito por
0 \le \rho \le 1, \quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

O elemento de volume em esféricas é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O integrando x\,y torna-se
x\,y = (\rho\sin\varphi\cos\theta)\,(\rho\sin\varphi\sin\theta) = \rho^{2}\sin^{2}\varphi\,\cos\theta\sin\theta.
Logo o integrando completo é
x\,y\;dz\,dy\,dx \;\longrightarrow\; \bigl(\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\sin\theta\bigr)\, \bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{4}\sin^{3}\varphi\,\cos\theta\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, sem resolver, temos
I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi/4} \int_{\rho=0}^{1} \rho^{4}\,\sin^{3}\varphi\,\cos\theta\,\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Resposta

I = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{1} \rho^{4}\,\sin^{3}\varphi\,\cos\theta\,\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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