Encontre a série de Taylor de
em torno de
.
Dica: Lembre que
.
Dica: Lembre que
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
. O tema é expansão em série de Taylor de função holomorfa em torno da origem e, para resolver, vamos precisar de uma identidade trigonométrica de ângulo triplo e dos desenvolvimentos em série de potências de
.
Passo 2
Aplicamos a identidade de ângulo triplo, que pode ser obtida via o teorema de de Moivre ou manipulações trigonométricas:
Agora recordamos as séries de Taylor em torno de zero:
e substituímos também
para
:
Passo 3
Substituindo essas duas séries na identidade e agrupando termo a termo em potências de
, obtemos:
Passo 4
Por fim, fatoramos o coeficiente comum
e escrevemos o termo geral de forma simplificada:
Resposta
[\sin^3 z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{3 - 3{2n+1}}{4\,(2n+1)!}\;z{2n+1}.]