Encontre a série de Taylor de f(z)=(sin z)^3 em torno de z0=0.
Dica: Lembre que (cos x+i sin x)^3=cos (3 x)+i sin (3 x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(z)=(sin z)^3 centrada em z0=0. O tema é expansão em série de Taylor de função holomorfa em torno da origem e, para resolver, vamos precisar de uma identidade trigonométrica de ângulo triplo e dos desenvolvimentos em série de potências de sin z.

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo triplo, que pode ser obtida via o teorema de de Moivre ou manipulações trigonométricas:
sin^3 z = 3sin z - sin(3z)4
Agora recordamos as séries de Taylor em torno de zero:
sin z = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)!,
e substituímos também zmapsto 3z para sin(3z):
sin(3z) = sumn=0^infty (-1)^n (3z)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n 3^2n+1(2n+1)! z^2n+1

Passo 3

Substituindo essas duas séries na identidade e agrupando termo a termo em potências de z, obtemos:
sin^3 z = sumn=0^infty l(3(-1)^n4(2n+1)! - (-1)^n3^2n+14(2n+1)!r)z^2n+1

Passo 4

Por fim, fatoramos o coeficiente comum (-1)^n4(2n+1)! e escrevemos o termo geral de forma simplificada:
sin^3 z = sumn=0^infty (-1)^n 3 - 3^2n+14,(2n+1)!;z^2n+1

Resposta

[\sin^3 z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{3 - 3{2n+1}}{4\,(2n+1)!}\;z{2n+1}.]

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